Неперервна функція.

Визначення1. Функція називається неперервною, якщо її приріст при

Тобто, якщо приріст аргументу скільки завгодно малий, то й приріст самої функції скільки завгодно малий. Інакше: малі зміни аргументу приводять до малих змін самої функції.

Розглянемо простий приклад. Нехай задано функцію Легко бачити, що приріст функції при

Тому дана функція дійсно є неперервна.

Зауважимо, що далі, коли буде розглянуто диференціальне числення, можна буде для розв’язання подібної проблеми використовувати той факт, що всяка диференційована функція необхідно неперервна. Це випливає з того, що диференціювання є більш сильна властивість функції, ніж неперервність. (І до речі, не всяка неперервна функція має похідну!).

При вивченні теорії границь суттєво будемо застосовувати інше визначення.

Визначення 2. Для неперервної функції має місце співвідношення:

Тобто, якщо маємо неперервну функцію, то її границю можна знайти, просто підставивши замість у дану функцію граничне значення аргументу і виконавши підрахунки.

Прийнято позначати неперервну функцію так: (Взявши першу букву слова «Continuous», що перекладається з англійської, як «неперервний»).

Далі ми будемо мати справу з неперервними функціями на протязі вивчення усього курсу математичного аналізу.

Альтернативою неперервних є розривні функції. Досить детально ми їх вивчати не будемо, але потрібно знати, що існують розриви першого і другого роду. Наприклад, відома функція Хевисайда має кінцевий розрив (першого роду) при . А ось добре відома функція

(звернено пропорційна залежність, а інакше – гіпербола, що віднесена до асимптот (її асимптоти співпадають з осями координат)) при має нескінчений розрив (другого роду). Дійсно, якщо наближаємось до нуля по від’ємним значенням, то а якщо по додатним значенням, то

Ми будемо використовувати наведену вище інформацію, до речі, при дослідженні функцій. Побачимо, що, наприклад, розриви другого роду «розріжуть» графік функції на декілька гілок.

Невизначеності вигляду

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 1.

Розв’язання почнемо з тестування: підставляємо граничне значення аргументу у дану функцію. Остання є частинний випадок, так званої, дрібно-раціональної функції – відношення двох багаточленів. Очевидно, що тип невизначеності - Щоб її розкрити, підготуємо функцію до граничного переходу, визначивши, по-перше, найвищу степінь багаточленів (у нашому випадку – це друга) і поділивши на усі члени чисельника й знаменника одночасно. Отже, маємо:

Результат одержано при використанні теорем про границі дробі, суми, сталої, а також зв’язок між нескінченно великими і нескінченно малими (а саме: при є нескінченно малі, тобто їх границі дорівнюють нулю).

Приклад 2. Маємо знов невизначеність типу Старша степінь у чисельнику і знаменнику дробі дорівнює одиниці. До речі, при наявності коренів, треба під знаком кореня взяти тільки тій член, що містить у найвищій степені й прикинути, у який степені він стане, якщо корінь із нього витягнути. У нашому прикладі одержуємо у перший степені. Наявність кореня не заважатиме використанню того ж прийому, що був запроваджений у Прикладі 1. Отже, одержимо:

(Використано, що ).

Приклад 3. Тип невизначеності . Тобто граничне значення є коренем як чисельника, так й знаменника. Потрібно використовувати підхід, що суттєво відрізняється від розглянутого вище. Перетворимо вигляд функції, що знаходиться під знаком границі. Для цього розкладемо квадратні тричлени, що стоять у чисельнику і знаменнику на добутки лінійних множників. При цьому, очевидно, там будуть присутні однакові множники, а саме - Доки ми не перейдемо до границі, прямуючи до одиниці, цей множник не прямує до нуля. Ділимо одночасно на нього чисельник і знаменник, а вже потім переходимо до границі. А саме:

Приклад 4. Маємо невизначеність . Бажано змінити її, виконавши еквівалентні перетворення функції, що міститься під знаком границі. Природно привести її до спільного знаменника. Як правило, при цьому пошук границі спрощується. Отже, одержимо:

Таким чином, елементарні перетворення дозволили змінити тип невизначеності на , а подальші дії треба виконувати за схемою, що розглядалась у Прикладі 3:

Приклад 5. Наявність кореня заважає використанню розглянутої вище схеми, що слід застосовувати при невизначеності типу , яка має місце і у даному прикладі. Пропонується впровадження еквівалентного перетворення даної функції, що полягає у одночасному множенні чисельника і знаменника даної дробі на, так званий, спряжений вираз (у даному випадку – на ). Після використання формул скороченого множення ми фактично попадемо в умові, які розглядались у Прикладі 3. Маємо:

Зауважимо, що при наявності кореню третього степені можна використати ще одну формулу скороченого множення із курсу шкільної математики, помноживши чисельник і знаменник на неповний квадрат суми (або різниці).

Приклад 6. Ми вже вдруге одержуємо дуже «неприємну» невизначеність типу . Але на відміну від ситуації, що була у Прикладі 4, дана функція не містить дробів, тому треба шукати інші шляхи для зміни типу невизначеності. Використаймо прийом, застосований у Прикладі 5:

Зауважимо, що таки ж самі прийоми треба використовувати, якщо замість у прикладах буде - аргумент, що приймає цілі значення. І ще: незважаючи на різноманіття прикладів, існують цілком визначені стандартні прийоми розв’язування задач, пов’язаних з розшуком границь. Треба уважно проробити цю тему: вона має дуже широке застосування у різних розділах курсу вищої математики.