Змішаний добуток векторів.

Змішаним (або векторно-скалярним) добутком трьох векторів (взятих у вказаному порядку) називається скалярний добуток вектора на векторний добуток Позначення змішаного добутку: . Зауважимо, що при круговій перестановці співмножників змішаний добуток не змінюється, при перестановці двох співмножників – змінює знак на протилежний:

У багатьох випадках треба знайти число, якому дорівнює змішаний добуток, або знак цього числа. Найпростіше зробити це, якщо відомі координати усіх трьох векторів. Нехай , , . Тоді

Змішаний добуток використовується при розв’язанні багатьох задач аналітичної геометрії. Відмітимо найбільш важливі.

1. Ознака компланарности. Якщо три вектори компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю.

2. Орієнтація трійки векторів у тримірному просторі. Якщо система із трьох векторів права, то > 0, якщо трійка векторів ліва, то

< 0.

3. Геометрична інтерпретація змішаного добутку. Модуль змішаного добутку трьох не компланарних векторів дорівнює об’єму паралелограма, побудованого на цих векторах.

4. Об'єм тетраедра, побудованого на трьох векторах, дорівнює модулю змішаного добутку цих векторів, поділеному на 6.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайти об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах {1, 2, 3}, {-1, 3, 4}, {2, 5, 2}. Маємо

Відповідь повинна бути достатньою, тому

Приклад 2. Найти об'єм трикутної піраміди ABCD із вершинами у точках A (2, -1, 1), B (5, 5, 4), C (3, 2 -1), D (4, 1, 3). Знайдемо координати векторів, розташованих на ребрах піраміди, початок яких знаходиться, наприклад, у точці А. Шуканий об'єм дорівнює від об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Отже,

. Тому

Звідси