Матричний спосіб розв’язання систем.

Цей спосіб розглянемо для системи трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими (*)

Підкреслимо, що спосіб може бути реалізований при умові, що визначник даної системи не дорівнює нулю. Систему (*) можна записати у, так званої, матричній формі, а саме: де

- матриця коефіцієнтів системи, - стовпець із невідомих системи (іноді кажуть вектор-стовпець), - cтовпець із правих частин системи. За правилом множення матриць треба усі елементи першого рядка матриці А треба помножити на відповідні елементи матриці Х, при цьомуодержуємо перший елемент матриці Н, тобто маємо перше рівняння системи (*). Аналогічно можна одержати друге і третє рівняння. Тобто матрична форма системи і вже знайома форма (*) очевидно еквівалентні. Припустимо тепер, що існує така матриця , яка називається оберненою до даної і для якої справедлива рівність: де Е – одинична матриця, тобто Легко бачити, що добуток одиничної матриці на будь яку іншу, залишає останню незмінною. Тому, якщо б обернену матрицю нам вдалось знайти, то розв’язок системи мав би вигляд:

Математики знайшли спосіб побудови оберненої матриці. Він полягає у виконанні таких дій:

1. Будуємо матрицю із алгебраїчних доповнень матриці А, тобто

Великими буквами позначено відповідні алгебраїчні доповнення до елементів матриці А.

2. Одержану матрицю із алгебраїчних доповнень транспонуємо:

3. Нарешті одержимо обернену матрицю, помноживши останню матрицю на , де - визначник системи. Таким чином, обернена матриця дорівнює , тому остаточно розв’язок

системи саме такий:

Корисні зауваження. 1. Зрозуміло, що починати реалізацію матричного методу треба з знаходження визначника системи. Якщо визначник дорівнює нулю, не має ніякого сенсу використовувати цей метод.

2. При перемноженні матриць треба, щоб кількість елементів у рядку першої з них дорівнювала кількості елементів у стовпці другої.

3. При обранні того чи іншого метода розв’язання системи треба намагатися обрати найоптимальніший для даної системи. Наприклад, якщо легко виключаються невідомі, то має сенс віддати перевагу методу Гаусса. Одним словом, завжди корисно підключати здоровій глузд при обранні кращого шляху.

4. Широке використання визначників, матриць і систем лінійних рівнянь у різноманітних застосуваннях важко перерахувати. До речі ми будемо застосовувати їх і при вивченні аналітичної геометрії, і векторної алгебри, розв’язуючи задачі і виконуючі дослідження.