Два рівняння із двома невідомими.

Розглянемо систему рівнянь

(1)

(кожне з них представляє пряму на площині XOY, тому, розв’язуючи систему, ми фактично вивчаємо проблему взаємного розташування двох прямих).

Введемо позначення:

(визначник системи), , .

Визначник одержимо із заміною елементів першого стовпця на праві частини системи, аналогічно одержимо .

Можливі три випадки.

Випадок 1. Визначник системи не дорівнює нулеві. Тоді система має єдиний розв’язок (формули Крамера):

(2)

(Пара прямих, заданих системою (1), перетинається, а формули (2) дають координати точки перетину).

Випадок 2. Визначник системи дорівнює нулеві. (Тобто коефіцієнти при невідомих пропорційні). Нехай при цьому один з визначників , не дорівнює нулю (тобто праві частини системи не пропорційні коефіцієнтам при невідомих). У цьому випадку система не має розв’язків (прямі, задані системою (1), паралельні).

Випадок 3. Усі визначники дорівнюють нулю (тобто і коефіцієнти, і праві частини обох рівнянь (1) пропорційні). В такому випадку одне з рівнянь (1) є наслідком іншого. Система має безліч розв’язків (прямі, задані системою (1), співпадають).

Розглянемо приклади.

1.

Маємо

Отже, система має єдиний розв’язок:

2.

Визначник системи При цьому

Коефіцієнти системи пропорційні, а праві частини не підпорядковані цієї ж пропорції. Система несумісна, розв’язків не має.

3.

Усі визначники дорівнюють нулю. Маємо випадок, коли фактично є одне незалежне рівняння (наприклад, друге одержимо з першого множенням на 2). Система має безліч розв’язків. (Кожна точка на прямій, що є геометричною моделлю рівняння, буде одним з розв’язків).