Три рівняння із трьома невідомими.

Розглянемо систему

Зауважимо, що кожне з рівнянь системи визначає площину у тримірному просторі, тому розв’язання та дослідження такої системи дає можливість встановити їх взаємне розташування.

Введемо позначення

- визначник системи,

Визначник одержимо із визначника системи заміною першого стовпця правими частинами. Аналогічно одержимо і .

Якщо б елементи деяких двох рядків визначника системи були пропорційні, то відповідні рівняння системи були б або несумісні, або зводились би до одного рівняння. У першому випадку система не має розв’язків, а у другому одержимо систему з двох рівнянь із троьма невідомими. Така система розглядалась вище. Тому зараз припустимо, що у визначника немає жодної пари рядків із пропорційними елементами (тобто

серед трьох площин, заданих рівняннями системи, немає жодної пари паралельних). При цьому можливі три випадки.

Випадок 1. Визначник системи не дорівнює нулю. Система має єдиний розв’язок, який можна одержати за формулами Крамера:

(Три площини перетинаються у одній точці, а останні формули дають її координати).

Випадок 2. Визначник системи дорівнює нулю, але при цьому один з визначників , , не дорівнює нулю. У даному випадку система несумісна і не має розв’язків.

Випадок 3. Визначник системи а також визначники , , усі дорівнюють нулю. Цей випадок є найбільш цікавий і найбільш важкий для дослідження. Тому що можливі такі варіанти: або система має безліч розв’язків, або вона їх не має зовсім! Помітну роль у дослідженні грає геометрична модель системи. Наприклад, якщо коефіцієнти і праві частини якихось двох рівнянь пропорційні, то система зведеться до двох рівнянь і має безліч розв’язків.(Усі розв’язки системи при цьому розташовані на прямій, яка є їх лінією перетину). Якщо пропорційні коефіцієнти і праві частини усіх трьох рівнянь, то система зведеться до одного рівняння.(Усі три площини співпадають і координати будь якої точки на цій площини – це деякий з розв’язків системи). Або ще одна ситуація: дві з трьох площин співпадають, а третя їм паралельна. Усі визначники будуть дорівнювати нулю, маючі два пропорційних рядка, але, очевидно, що розв’язків така система не має. На жаль нам бракує часу для більш детального дослідження усіх випадків, які можуть бути при цієї проблемної ситуації.