Друга важлива границя.

Другою важливою границею називають Число - це основа натурального логарифма. Тип невизначеності можна вважати «візитною карткою» другої важливої границі.

Якщо зробити заміну: то одержимо цю границю у новому вигляді: Характер поведінки функції, що находиться під знаком границі – однаковий: у дужках до одиниці додається нескінченно мала при відповідному прямуванні змінної величина і при цьому ця сума має нескінченно великий показник степені.

За допомогою цих формул можна розв’язувати велику кількість задач.

Звернемось до прикладів.

Приклад 1. Хоча тип невизначеності – такий, як у стандартній формулі, але наявність деяких відмінностей не дозволяє миттєво нею скористатись. Тому перетворимо еквівалентним чином вигляд даної функції так, щоб було можливо розглянути саме другу важливу границю!

Спочатку число відправлено у знаменник знаменника, потім у показнику степені одночасно помножено і поділено на те ж число. Після виконання цих еквівалентних операцій у фігурних дужках одержано шуканий вигляд функції. Отже, маємо результат, використовуючи другу важливу границю.

Приклад 2. Легко бачити, що тип невизначеності . Але ситуація виглядає декілька складніше, ніж у попередньому прикладі. Перетворимо еквівалентним шляхом вигляд даної функції. Наша мета – у тому, щоб після перетворень можна було б побачити саме другу важливу границю. Спочатку зробимо виділення цілої частини з дробу Для цього існують три способи:

1) До речи, у знаменнику останньої дробі міститься підказка: саме такий вираз треба бути виділити, перетворюючи далі показник степеню.

2)

3) Нарешті, можна поділити чисельник дробі на знаменник (саме так виділяють цілу частину неправильної дробі). Ціла частина у нас – одиниця, а решток від ділення – чисельник дрібний частини.

Виконаємо перетворення показника:

Тепер нашу границю одержати неважко:

Звернемо увагу на те, що вираз у фігурних дужках співпадає за своїм виглядом та поведінкою саме з другою важливою границею.

Приклад 3. Маємо невизначеність . Оскільки виправдовує себе прийом, що базується на еквівалентних попередніх перетвореннях, використаємо його знов. Отже,

і є та сама нескінченно мала при

Бувають ситуації, коли на перший погляд не має підстав у використанні другої важливої границі, але після декількох кроків стає очевидною її необхідність. Звернемось до прикладу.

Приклад 4. Маємо невизначеність . Ось як проходить пошук

результату: