Правило логарифмічного диференціювання.

Для диференціювання функцій вигляду недостатньо тільки приведених вище правил і таблиці. Але ситуація має розв’язок. При цьому можна йти двома шляхами. Перший полягає у використанні основної логарифмічної тотожності (ми будемо використовувати цей частинний випадок від ). Для спрощення викладок опустимо в них аргумент . Представимо дану функцію у вигляді При цьому одержана складна функція, яку ми зможемо диференціювати на підставі саме правил і таблиці:

Другий шлях полягає у тому, що шукану похідну одержимо, диференціюючи не саму функцію, а її логарифм. Розглянемо це детальніше.

Подальше для спрощення опустимо . Беремо далі похідну по від обох частин, тобто Приймаючи до увазі, що складні функції маємо в обох частинах останньої рівності, одержимо:

Залишається одностайно помножити обидві частини на і шукана похідна знайдена:

Звернемось до прикладів.

Приклад 1. Знайти похідну функції У відповідності із методом логарифмічного диференціювання, одержимо

Можна знайти розв’язок, інакше, за використанням логарифму даної функції.

Помноживши обидві частини останньої рівності на одержимо шуканий розв’язок.

Корисно відмітити, що інколи використання цього правила буває ефективним не тільки для розглянутих вище функцій, а також, у випадках коли дана функція являє собою громіздке співвідношення, що представляє добуток великої кількості множників (або дріб, чисельник та знаменник якої має саме таку структуру). Розглянемо функцію Можна, безумовно, шукати похідну цієї функції, не звертаючись до правила логарифмічного диференціювання, але його використання допоможе суттєво спростити викладки і зберегти час. Найдемо натуральний логарифм даної функції (вибір саме натурального логарифма не є випадковим: буде використано більш простий вигляд формули для відповідної похідної).

Диференціюючи і одночасно помножуючи обидві частини одержаної похідної на маємо: