Властивості похідної.

1. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

2. Похідна від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних.

3. Похідна добутку знаходиться за формулою: де

це функції аргументу

4. Похідна дробі знаходиться за формулою:

5. Похідна складної функції дорівнює похідній функції по допоміжному аргументу , помноженій на похідну від цього аргументу по

Приклад. Знайти похідну від функції Маємо складну функцію, яку можна представити у вигляді ланцюжка з елементарних функції: Відповідно правилу, одержимо:

Привило природно поширюється на випадок суперпозиції любої кінцевої кількості елементарних функцій.

Наведемо таблицю похідних основних елементарних функцій.

Таблиця похідних основних елементарних функцій.

1. де може приймати любі значення,

2. де основа натурального логарифма,

3. (),

4. ,

5. ,

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

Як було відмічено вище, похідна використовується при розв’язанні багатьох задач. Розглянемо задачу о дотичній. Оскільки дотична до кривої - це пряма, що проходить через точку дотику то її рівняння

має вигляд де кутовий коефіцієнт виражається через похідну від зафіксовану у точці дотику (відповідно з геометричним сенсом похідної). Тобто рівняння дотичної має вигляд: Легко одержати й рівняння нормалі (прямої, що проходить через точку дотику перпендикулярно до дотичної). Використовуючи умову перпендикулярності, маємо:

Зрозуміло, що успішне використання похідної для розв’язання задач, не можливе без оволодіння технікою диференціювання. Розглянемо це питання.

Перш ніж приступати до практичного знаходження похідних, треба мати на увазі, що для різних способів аналітичного завдання функцій існують свої конкретні методи. А саме: ці методи розроблені для функцій, заданих явно, неявно і у параметричному вигляді. Почнемо з функцій, заданих явно, тобто у вигляді Здається корисною таблиця, яку можна одержати із наведеної вище, якщо замінити в ній на довільну функцію і примінити правило диференціювання складної функції. Приведемо цю таблицю і на деяких прикладах переконаємось у перевагах, які вона дає. До речі, пошук похідної – це майже найпростіша з задач у курсі математичного аналізу, тому що це задача для сумлінного виконавця.

Таблиця похідних для складних функцій.

1. де може приймати любі значення,

2. де основа натурального логарифма,

3. (),

4. ,

5. ,

6. ,

7.

8.

9.

10.

11.

Приклад1. Знайти похідну функції

Очевидно для знаходження похідної треба використати формулу 1. останньої таблиці. Дійсно, у нашому випадку . Таким чином,

Приклад 2. Знайти похідну функції У чисельнику дробі – складна функція, при диференціюванні якої потрібне використання формули 4. Крім того, аргументом у синуса є добуток двох функцій. Отже, нам ще потрібні правила диференціювання добутку і дробі. Таким чином, одержимо

Для диференціювання майже усіх функцій, заданих явно, як правило, достатньо грамотно використовувати таблицю похідних і відповідні правила їх знаходження. Виключенням є, так звані, складні показниково-степеневі функції вигляду для яких існує спеціальне правило, яке ми зараз розглянемо.