Застосування визначеного інтеграла.

· Площі фігур.

Площа криволінійної трапеції, розташованої над осью OX, виражається інтегралом:

Y

А В

O a b X

рівняння кривої АВ.

Для трапеції, розташованій у ніжній півплощині

де рівняння кривої CD.

Y a b

X

Фігури іншої форми ділять на трапеції (або доповнюють до трапеції) і одержують площу як суму (або різницю площин трапецій).

· Площі фігур (полярні координати).

Площа сектора АОВ, обмеженого лінією АВ і проміннями ОА і ОВ виражається формулою:

B

А

де r – полярний радиус точки М лінії АВ, j - її полярний кут - нижня й верхня границі інтегрування.

· Об'єм тіла обертання.

Об'єм тіла, обмеженого по верхньою обертання і двома площинами, перпендикулярними до осі обертання ОХ, виражається формулою:

де y = f(x) рівняння лінії, що обертається навколо осі ОХ, a, b – точки перетинуплощин, перпендикулярних до осі обертання.

Якщо ось обертання співпадає з віссю ординат, використовується формула:

(c, d) – інтервал на осі OY, навколо якого обертається лінія, задана рівнянням x = j(y).

· Довжина дуги плоскої кривої.

до визначається за формулою:

Для лінії, що задана у параметричному вигляді, довжина дуги АВ виражається формулою:

де t – параметр, через який виражені текучі координати x = x(t), y = y(t), (t ₂ > t ₁).

Якщо лінія задана у полярних координатах, то довжину находимо так:

Де рівняння лінії

ЗРАЗОК РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ.

Обчислити визначені інтеграли:

a)

Прокоментуємо розв’язок. Використаємо рівність . Далі одержуємо табличний интеграл, а потім використана формула Ньютона - Лейбніца.

Можна поступити інакше. Використаємо заміну тоді

Таким чином, одержимо:

Використано при цьому, що при перестановці границь визначений інтеграл зберігає абсолютне значення, але змінює знак на протилежний.

b) Виконаємо заміну:

Нагадаємо, що нові границі інтегрування одержимо при підстановці у співвідношення, що зв’язує стару і нову змінні і розв’язане відносно нової змінної замість x чисел 1 и 2, тобто ніжній і верхній границь інтегрування відповідно. Після заміни одержуємо:

2. Обчислити невласні інтеграли, або встановити їх розбіжність:

а) У першому інтегралі підінтегральна функція має розрив при

x = 1. У відповідності з теорією представимо даний інтеграл у вигляді суми двох інтегралів, для яких точка розриву опиниться на одному з кінців відповідного проміжку інтегрування:

Далі кожний з інтегралів досліджується на збіжність незалежно від одне одного. Даний інтеграл вважається збіжним, якщо збігаються обидва інтеграли , даний інтеграл вважається розбіжним, якщо розбігається, при наймі, один з інтегралів , кожен з яких будемо трактувати як граничне значення деякого визначеного інтеграла:

По-перше, розшукаємо відповідний невизначений інтеграл:

(С – довільна стала).

А тепер звернемось до інтегралів .

(Логарифмічна функція є неперервною, тому при знаходженні границі достатньо підставити замість e нуль). Таким чином, інтеграл

розбігається. При цьому даний інтеграл також розбігається.

Розглянемо інтеграл

Будемо трактувати його як граничне значення:

Відповідний невизначений інтеграл дорівнює:

Використана формула інтегрування по частинам. Інтеграл від дрібно-раціональної функції, одержаний справа, найдемо за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Підінтегральну функцію представимо у вигляді суми простих дробів:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х у чисельниках першої і останньої дробів, одержимо систему:

Звідси В = 1. Таким чином,

Нарешті маємо:

D –довільна стала. Звернемось до даного невласного інтеграла.

Враховано, що тому границя при дорівнює нулю, , тому що

при

3. Круг розділений параболою на дві частини. Найти площі обох частин.

. Y

K

A B