Інтегрування по частинам.

Розглянемо диференціал добутку: Перепишемо це співвідношення так: , а тепер візьмемо невизначений інтеграл з обох сторін останньої рівності. Одержимо формулу інтегрування по частинам:

Є декілька класів інтегралів, яки інтегруються саме за цією формулою.

1. У цьому випадку треба обирати у якості багаточлен тобто При однократному використанні формули, степінь багаточлена знижується на одиницю. Через m шагов степінь багаточлена нарешті стане рівною нулю, а під знаком інтеграла залишиться тільки показникова або тільки тригонометрична функція.

2. У даному випадку треба обирати у якості або логарифмічну, або обернену тригонометричну функцію.

3. інтегруються по частинам двічі. При цьому кожного разу у ролі обидва рази треба брати щось одне. Наприклад, у першого з наведених інтегралів або двічі за беремо показникові функцію, або – тригонометричну. На результаті це не відобразиться. А для другого і третього інтегралів у якості двічі береться складна функція. У результаті цих дій у правій частині виникає такий ж інтеграл, як і даній, але з іншим коефіцієнтом. Тобто одержуємо лінійне відносно шуканого інтеграла рівняння, яке легко розв’язується.

4. Не зважаючи на те, що цей метод розроблений для конкретних класів інтегралів його інколи можна успішно використовувати і у таких випадках, коли існують інші шляхи для розв’язування задач. Добрим прикладом можна вважати інтеграл і подібні до нього. Можна користуватись заміною змінної, але саме метод інтегрування по частинам є найбільш раціональним! На відміну від попереднього випадку по частинам беремо один раз, але, виконавши деякі перетворення в правій частині одержимо можливо з іншим коефіцієнтом. Дали виражаємо шуканий інтеграл із лінійного відносно нього рівняння.

Приклад 1.

Звідси =

Приклад 2.

Як бачимо, для успішного розв’язання прикладів треба добре володіти і диференціюванням, і інтегруванням за простішими прийомами.

Приклад 3.

Приклад 4.

Розв’язуючи відносно шуканого інтеграла, одержимо:

Приклад 6. Розглянемо випадок, коли треба двічі інтегрувати по частинах.

Зверніть увагу, що після кожного використання формули степінь логарифма знижувалась на одиницю. Тобто треба чітко виконувати правила гри у виборі .

Інтегрування по частинах – це один із основних методів інтегрування. Розглянемо ще один основний метод.