Загальне дослідження функцій і побудова графіків.

Графік функції у шкільному курсі математики будувався по точкам. Тобто у декартовий площині відмічались точки, що належать даній функції, а потім проводилась крива, що проходить через усі ці точки. Для знаходження координат точок будувалась таблиця. Але при цьому навіть маючи велику кількість точок можна було допустити суттєві помилки. Щасливим виключенням були графіки прямої, кола і деяких інших відомих ліній.

Для побудови графіка із великою точністю при малої кількості точок використовують результати дослідження, проведеного за допомогою засобів вищої математики. Загальна схема дослідження включає такі моменти:

1. Знаходимо область визначення даної функції .

2. Перевіряємо, чи є дана функція парною (непарною). Якщо функція парна, для неї виконується співвідношення: Графік парної функції симетричний відносно вісі ординат. Для непарної функції має місце рівність: Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

3. Перевіряємо, чи є дана функція періодичною. Функція є періодичною, якщо існує таке число яке називається періодом, що натуральне число. Наявність періодичності дозволяє будувати функцію тільки на одному з її періодів, а потім, використовуючи цю властивість, поширити графік на всю область визначення.

4. Досліджуємо функцію за допомогою першої похідної. При цьому знаходимо екстремуми функції (тобто її максимуми і мінімуми), якщо вони є, а також інтервали її монотонності (тобто інтервали, на яких функція зростає або спадає).

5. Досліджуємо функцію за допомогою другої похідної. При цьому знаходимо точки перегину функції, якщо вони є, і інтервали її опуклості і угнутості. У цілому це є дослідження кривизни кривої.

6. Якщо область визначення функції нескінчена, шукаємо горизонтальні й наклонні асимптоти.

Розглянемо детальніше 4, 5 і 6 пункти дослідження.