Найпростіші прийоми інтегрування.

До найпростіших прийомів інтегрування можна віднести таки випадки, коли даний інтеграл за допомогою тотожних перетворень досить легко приводиться до одного чи декількох табличних інтегралів. (Заради справедливості, треба зауважити, що існують інтеграли, яки не беруться у елементарних функціях, але таки випадки ми розглядати не будемо, тому що вони знаходяться за межами нашої програми). Таким чином, наша мета полягає у одержанні табличних інтегралів. Вона, до речі, не зміниться, коли нам прийдеться залучати основні методи інтегрування. Тільки при впевненості у тому, що ця мета досягнута, можна записувати результат.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. Найти інтеграл . На перший погляд, у таблиці інтегралів такого немає, але, поділивши окремо кожен член чисельника на знаменник, одержимо три табличних (!) інтеграла. А саме:

Приклад 2. . Використання бінома Ньютона нераціонально. Оберемо інший шлях: розглянемо ланцюжок очевидних рівностей

Таким чином, під знаком диференціала можна додавати або віднімати любу сталу. Якщо вважати, що змінною інтегрування є то, додавши у даному прикладі під знаком диференціала одиницю, одержимо табличний інтеграл:

Взагалі кажучи, змінною інтегрування може бути люба функція, при цьому формули таблиці інтегралів залишаються справедливими. Це твердження є предметом теореми об інваріантності формул інтегрування.

Дійсно,

Тобто всю таблицю інтегралів можна переписати, замінивши у формулах на Це дуже важливий результат, завдяки якому можна знаходити велику кількість інтегралів.

Приклад 3. Виконаємо тотожні перетворення

Тепер змінною інтегрування стає І даній інтеграл стає табличнім! А саме:

У загальному випадку

Можна вводити під знак диференціала не тільки лінійні, а любі функції.

Приклад 4. . Користуючись таблицею диференціалів, маємо:

Підставляючи останній вираз під знак інтеграла, одержуємо табличний інтеграл: У даному випадку, до речі, знак абсолютної величини у відповіді можна замінити звичайними дужками, тому що вираз під знаком логарифма завжди додатний.

Приклад 5.

Приклад 6.

Для розв’язання багатьох прикладів успішно використовуються тригонометричні формули. Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 7. (Використана формула

).

Приклад 8. При розв’язанні використана основна тригонометрична тотожність і одна з формул таблиці диференціалів:

При розв’язанні прикладів, в яких під знаком інтеграла знаходиться, так звана, дрібно-раціональна функція, перш за все, якщо треба, виділити цілу частину цієї функції. Взагалі дрібно-раціональна функція – це відношення двох багаточленів: Перш ніж робити щось інше, треба порівняти найвищі степені обох багаточленів і коли , виділити цілу частину, яка, в загалі кажучи, є багаточленом, а при спів падінні чисел і дорівнює константі.

Приклад 9. Виділення цілої частини одержано за допомогою одностайного додавання і віднімання одиниці у чисельнику, а потім ділення на знаменник з використанням відомої формули скороченого множення:

У більш загальному випадку просто ділять чисельник на знаменник до тих пір, доки найвища степінь у залишку від ділення не стане хоча б на одиницю нижче за найвищу степінь у знаменнику даної дрібно-раціональної функції.

Інтеграли вигляду

Цей інтеграл є частинним випадком інтеграла але останній при легко привести до За допомогою виділення повного квадрату у знаменнику неважко одержати слідуючи три випадки:

Так як в залежності від знаку дискримінанта інтеграл приводиться до цілком конкретного вигляду, то ця обставина дає можливість прогнозувати результат, обчисливши тільки знак . Що представляють собою стане зрозуміло із прикладів.

Приклад 1.

Приклад 2. =

Приклад 3.

Наведені приклади ілюструють три випадки, які можуть виникнути при розв’язанні задач на інтеграли розглянутого типу. Додамо, що спосіб виділення повного квадрату з успіхом використовується, коли у знаменнику дробі маємо квадратний корінь з квадратного тричлена. Дані інтеграли при цьому будуть зводитись до табличних 8-ого або 10-ого.

Інтеграли вигляду

Наявність у чисельнику лінійного двочлена суттєво ускладнює ситуацію. Якщо би , то ми одержали би тільки що розглянутий випадок. Саме невиконання цієї умови потрібує пошуку додаткового методу. На переконливих прикладах покажемо, що за цім методом можна наявність небажаних елементів у чисельнику використати на свою користь.

Приклад 1. . Спочатку знайдемо похідну знаменника, а потім перетворимо чисельник, «зв’язавши» не бажані його члени.

Похідна від знаменника відіграє роль свого роду підказки, що допомагає перетворити чисельник. Таким чином, можна записати: