Дослідження кривизни кривої.

Це дослідження проводиться за допомогою другої похідної. Як і при дослідженні екстремумів будемо перевіряти виконання як необхідних, так і достатніх умов існування точок перегину графіка функції.

Необхідна умова існування точки перегину – рівність нулю другої похідної функції.

Достатня умова полягає у зміні знаку другої похідної при переході через її критичне значення

Розглянемо детальніше таки поняття, як опуклість, угнутість і точка перегину графіка функції.

Розглянемо рисунок. Нехай дотична до даної кривої залишає останню під дотичною. Графік функції – опуклий. У протилежному випадку маємо угнутий графік функції.

Точка, в який угнутість змінюється на опуклість (або навпаки), є точка перегину графіка функції.

Встановлено, що при додатному знаку другої похідної графік функції – угнутий, а при від’ємному – опуклий. При дослідженні конкретних функцій і побудові графіків корисно приймати до уваги також монотонність (зростання і спадання) функції.

Нарешті розглянемо асимптоти. Останній термін – грецького походження не співпадаючий): асимптота кривої з нескінченою гілкою – це пряма, до якої ця гілка необмежено наближається. При цьому відстань між точками кривої і точками асимптоти прямує до нуля, але у нуль ніколи не обертається і ніколи точки кривої не перетинають асимптоту. Бувають вертикальні, горизонтальні й наклонні асимптоти.

Крива має вертикальну асимптоту , якщо (Очевидно, що розшук рівняння вертикальної асимптоти співпадає з розшуком точок розриву даної функції).

Крива має горизонтальну асимптоту, якщо існує кінцева границя а рівняння асимптоти при цьому є

Наклонна асимптота кривої має рівняння де кутовий коефіцієнт і число находимо із співвідношень:

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік: За стандартною схемою маємо:

1. Область визначення даної функції: тому що при дана функція має нескінчені розриви. До речі, - рівняння двох вертикальних асимптот.

2. Дана функція – непарна. Дійсно,

3. Дана функція не є періодичною.

4. Знаходимо похідну: У межах області визначення функції похідна має три критичних значення: Тобто необхідна умова існування екстремуму виконується, але вона не є достатньою, тому треба перевірити виконання достатніх умов. Область існування функції розділюється на 6 частин, в кожній з котрих вона зберігає знак, а саме: похідна має додатний знак на проміжках , а у проміжках - від’ємний. Двічі виконана достатня умова існування екстремуму: маємо максимум при і мінімум при . При переході через критичне значення похідна не змінює знак, тому тут функція не має екстремуму. Залишається знайти ординати точок, в яких він є:

,

5. Шукаємо тепер другу похідну: Маємо єдине критичне значення: Використовуючи, що похідна зберігає знак у проміжках між своїми критичними значеннями, одержуємо, що на і графік функції – угнутий, а на і графік – опуклий. Таким чином, при маємо точку перегину.

6. Вертикальні асимптоти вказані у п. 1. Горизонтальних асимптот немає, тому що не існує кінцева границя функції при . Наклонна асимптота існує. Дійсно,

Таким чином, рівняння наклонної асимптоти – таке:

Приймаючи до уваги результати дослідження, побудуємо дану криву. Бажано спочатку показати на декартовій площині асимптоти. Потім – екстремуми і точки перегину (якщо вони є).

Корисно мати на увазі те, який знак приймає дана функція у тій чи інший частині своєї області визначення. Якщо можна знайти

координати точок, у яких крива перетинає координатні вісі, їх також можна використати при побудові графіка.

Правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду і

Припустимо, що треба найти границю і відомо, що Лопіталь встановив, що має місце рівність:

Доведемо цей результат. Дійсно,

= Очевидно, що для реалізації цього правила треба, щоб функції і були визначені і диференційовані. Аналогічний результат має місце для невизначеності вигляду

Приклад 1. . Тип невизначеності - . Використаємо правило Лопіталя:

Приклад 2. . Маємо невизначеність Одержимо за правилом Лопіталя: Після диференціювання чисельника і знаменника, а також виконання перетворень одержана невизначеність типу . Ще раз примінимо правило Лопіталя:

Таким чином, якщо треба, це правило модна використовувати багатократно. При цьому бажано робити тотожні перетворення для спрощень, а також обов’язково на проміжних етапах слід перевіряти типи невизначеностей.