D o c X

Спроектуємо на ось Ох точки перетину кола і параболи. Тоді площу меншої частини можна одержати як різницю площ двох криволінійних трапецій AKBCDіAOBCD. Абсциси точок перетину А, В знаходимо, розв’язавши систему рівнянь , відносно х. Виключаючи у, одержимо біквадратне рівняння звідси абсциси точок

А, В відповідно дорівнюють -2 і +2. Найдемо площу області АКВОА. Оскільки вона симетрична відносно осі Оу, найдемо половину цієї площі, а потім результат удвоїмо.

Використаємо метод інтегрування по частинам для находження інтеграла

Переносимо у ліву частину, приводимо подібні, тоді:

Остаточно маємо:

Площа круга радіуса дорівнює . Таким чином, площа більшої частини круга одержимо, віднімаючи від площі круга

4. Знайти довжину дуги кривої

Крива задана у декартовий координатах у явному вигляді, тому використовуємо формулу:

Очевидно можна представити у вигляді

Підставляючи у формулу, одержимо:

5. Обчислити об'єм тіла одержаного при обертанні фігури, що обмежена параболой і віссю абсцисс, навколо осі ординат.

Y

A

M n

O B X

Шуканий об'єм дорівнює різниці об’єму тіла, одержаного при обертанні навколо осі ординат дуги AnB і об’єму тіла, одержаного при обертанні навколо осі ординат дуги OmA.

Формула для обчислення об’єму тіла обертання з віссю обертання Oy у загальному вигляді має вигляд:

Знайдемо границі інтегрування і рівняння дуг параболи AnB і OmA. Приведемо рівняння параболи до канонічного вигляду:

Таким чином, координати вершини параболи (точка А) дорівнюють (1, 1) і границі інтегрування таки: . Рівняння дуги, розв’язане відносно х, має вигляд: рівняння дуги OmA, розв’язане відносно х, має вигляд: . Шуканий об'єм дорівнює