Основні поняття

Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення вигляду

,

(або, якщо воно розв’язано відносно похідної, ), - незалежна змінна, - шукана функція.

Функція називається розв’язком цього диференціального рівняння, якщо після заміни на на воно перетворюється у тотожність.

Основною задачею теорії диференціальних рівнянь є пошук усіх розв’язків заданого диференціального рівняння і вивчення властивостей цих розв’язків.

Пошук розв’язківдиференціального рівняння називають інтегруванням цього рівняння.

Інтегралом диференціального рівняння називається співвідношення яке неявно задає розв’язок цього рівняння.

Інтегральною кривою диференціального рівняння називається графік його розв’язку

Загальним розв’язком диференціального рівняння називається функція яка є розв’язком цього рівняння при будь-яких допустимих значеннях сталої С.

Загальним інтегралом диференціального рівняння називають функцію вигляду , яка визначає загальний розв’язок у неявному вигляді.

Будь-який розв’язок або інтеграл який дістанемо з загального розв’язку при конкретному значенні довільної сталої називають відповідно частинним розв’язком або частинним інтегралом.

Загальному розв’язку (або загальному інтегралу) відповідає сім’я інтегральних кривих.

Задачею Коші для диференціального рівняння називається задача відшукання розв’язку цього рівняння, який задовольняє початкову умову

або задача виділення із сім’ї інтегральних кривих тієї кривої, яка проходить через задану точку

Задача Коші, або задача з початковою умовою, не завжди має єдиний розв’язок. Наступна теорема містить умови, при яких розв’язок рівняння

існує і є єдиним.

Теорема Коші. Якщо функція і її похідна визначені і неперервні в області, що містить точку то існує єдиний розв’язок рівняння такий, що тобто через точку проходить єдина інтегральна крива даного рівняння.

Зауваження. Успіх в розв’язанні диференціальних рівнянь у великій мірі залежить від уміння пізнавати типи рівнянь. Отже, приділить увагу цьому питанню.