Лінійні рівняння

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння вигляду

де і - задані неперервні функції. входять лінійно, тобто у першому степені. (При одержимо відповідне однорідне рівняння). Для розв’язування цього рівняння існують певні методи. Ми розглянемо, так званий, метод Бернуллі, в основі якого лежить ідея знаходження розв’язку у вигляді

де і - невідомі довільні функції. Тоді Підставляючи замість їх вирази через маємо

або

Функцію виберемо з умови (це лінійне однорідне рівняння, у якому завжди відокремлюються змінні). Отже,

Вважатимемо, що стала інтегрування С = 0. Для відшукання функції

одержуємо також рівняння з відокремлюваними змінними:

або

Звідки

де - довільна стала.

Перемноживши і дістанемо загальний розв’язок рівняння

Приклад 5. Розв’язати рівняння

Розв’язок шукаємо відповідно методу Бернуллі у вигляді Тоді

або

Функцію виберемо так, щоб Відокремивши в цьому рівнянні змінні, матимемо

Тоді знайдемо з рівняння :

де - стала інтегрування. Отже, загальній розв’язок заданого рівняння має вигляд:

Приклад 6. Знайти розв’язок диференціального рівняння

який задовольняє початкову умову (або, що теж саме, умову задачі Коші)

Задане рівняння лінійне неоднорідне. Виконуємо підстановку

Функцію знаходимо з умови

Далі знаходимо

Отже, загальний розв’язок має вигляд:

Підставляючи в останнє співвідношення дістанемо

Таким чином, частинний розв’язок рівняння має вигляд: