![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Преобразования координат на плоскости
Литература: [1], гл. 9, § 1, стр. 207–218; [7], гл. 2, § 13, 15, стр.51–54, 55-59. Основные определения, теоремы и формулы Пусть даны два базиса B =( Матрица Базисы B и B ΄ ориентированы одинаково (противоположно), если определитель матрицы перехода положителен (отрицателен). Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат R =(O,
где ( Вопросы для самоконтроля 1. Какой вид имеет матрица перехода при переходе от базиса ( 2. Может ли определитель матрицы перехода быть равным нулю? Обоснуйте ответ. 3. Какими свойствами обладает определитель матрицы перехода от одного базиса к другому? 4. Что такое ориентация векторного пространства? 5. Какая плоскость называется ориентированной? 6. Какая система координат называется: 1) левой? 2) правой? Приведите примеры. 7. Определите понятие «направленный угол между векторами 8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении координат вектора 9. Выведите формулы для вычисления направленного угла между двумя векторами 10. Сформулируйте задачу преобразования координат. 11. Запишите формулы преобразования координат и объясните смысл коэффициентов перед переменными. 12. Какие частные случаи преобразования координат можно выделить? Какой вид имеют формулы преобразования координат в каждом случае? 13. Пример 1. Определить величину угла, на который повернуты оси, если формулы преобразования прямоугольной системы координат заданы равенствами Решение. Как известно формулы преобразования прямоугольной системы координат имеют вид:
Сравнив эти формулы с данными в условии задачи, получим: Пример 2. Даны две точки М (9; − 3) и М 1(− 6; 5). Начало координат перенесено в точку М, а оси координат повернуты так, что положительное направление оси абсцисс совпадает с направлением отрезка ММ 1 (Рис. 20). Вывести формулы преобразования координат. Решение. Выполним все построения, указанные в задаче: в системе координат ОХУ построим точки М (9; − 3 ) и М 1(− 6; 5), перенесем начало системы координат в точку М (9; − 3), получим промежуточную систему координат МХ ′ ′ У ′ ′, которую повернем на угол величины так, чтобы положительное направление новой оси абсцисс МХ ′ ′ совпало с направлением отрезка М 1 М и тем самым получим систему координат МХ ′ У ′, координаты x ′, y ′ точек которой необходимо связать с координатами x, y этих же точек в системе координат ОХУ. Координаты нового начала нам известны:
Тогда формулы преобразования прямоугольных координат примут вид: Задачи 1. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат R =(O, 2. Какие из формул, приведенных ниже, можно считать формулами преобразования аффинной системы координат? а) в) 3. Медианы AA 1 и CC 1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Даны координаты точки D (− 2, 1) в системе координат R =(C, 4. Найти систему координат 5. Какие из следующих формул, заданных в прямоугольной декартовой системе координат, являются формулами преобразования прямоугольных декартовых систем координат: 1) 2) 6. Фигура в прямоугольной декартовой системе координат R =(O, 7. Как изменится уравнение линии, заданной в прямоугольной декартовой системе координат R =(O, 8. В системе координат R =(O, Домашнее задание 1. Дан параллелограмм ABCD. В системе координат (A, 2. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы R =(O, 3. Написать формулы преобразования координат: а) при переходе от системы R =(O, а) Тема 2.5. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств
|