Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В. 4 страница

Тема 1.5. Векторные подпространства

Литература: [1], гл. 2, §7, стр.52–55; [3], гл. 2, §1, стр. 49–52; [7], гл. 4, §18, стр. 156–161.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть L – непустое множество векторов из векторного пространства V. Множество называется векторным подпространством пространства V, если выполнены следующие два условия.

1) Если и то

2) Если , то для любого вещественного числа .

Например, множество векторов, параллельных фиксированной плоскости образует подпространство векторного пространства. Так как при сложении двух векторов, параллельных плоскости, снова получим вектор, параллельный той же плоскости и при умножении вектора, параллельного фиксированной плоскости, так же получим вектор, параллельный этой плоскости.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое размерность подпространства? Поясните ответ на примерах.

2. Приведите примеры: 1) нульмерного; 2) одномерного; 3) двумерного подпространства.

3. Приведите примеры базисов в одномерном и двумерном пространствах.

4. Что такое координаты вектора в двумерном векторном пространстве? Почему у любого вектора двумерного пространства координаты относительно фиксированного базиса всегда существуют и определяются единственным образом?

5. Перечислите свойства координат векторов в двумерном подпространстве.

6. Доказать, что пересечение любых двух векторных подпространств всегда не пусто.

7. Является ли векторным подпространством пересечение (объединение) двух векторных подпространств?

Задачи

1. Являются ли векторным подпространством каждая из следующих совокупностей векторов: а) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых целые числа? б) все векторы трехмерного векторного пространства, не параллельные данной прямой? в) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых имеют вид (1, a, b), где a, b – действительные числа? г) все векторы (x, y, z) трехмерного векторного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению x + y + z = 0?

2. Пусть – множество всех векторов , где M – внутренняя точка данного угла AOB. Является ли F векторным пространством?

3. В трехмерном векторном пространстве V ₃ даны два двумерных векторных подпространства: V ₂ – натянутое на векторы и и – натянутое на векторы и . Может ли пересечение V ₂ и быть подпространством: а) нульмерным, б) одномерным, в) двумерным?

4. В данном базисе (, ) построить вектор:

а) (–2, 3), б) (, –2).

5. Даны векторы (2, 3), (1, –3). При каком значении коэффициента векторы = + и =–3 +6 коллинеарны?

6. Вектор в базисе (, ) имеет координаты (2, 1). Доказать, что векторы =3 – и =–2 + образуют базис, и найти координаты вектора в новом базисе.

7. На прямой AB дана точка C такая, что ( –1), и дана точка D, не лежащая на прямой AB. Разложить: а) по векторам и ; б) по и ; в) по и .

8. Дан треугольник ABC. Через векторы = и = выразить условие того, что M – внутренняя точка треугольника ABC.

Задачи повышенной трудности

Пусть V и F – два подпространства трехмерного векторного пространства. Докажите, что: а) сумма V + F, то есть множество всех векторов, представимых в виде суммы вектора из V и вектора из F, является векторным подпространством, б) сумма размерностей подпространств V + F и V F равна сумме размерностей подпространств V и F.

Домашнее задание

1. Найти координаты вектора в базисе (, ), если: а) (4, –2) (1, 3), (2, –5); б) (5, 2), (–1, 3), (12, –5).

2. Дан параллелограмм ABCD. Через векторы = и = выразить условие того, что M – внутренняя точка параллелограмм ABCD.

3. Могут ли для тройки компланарных векторов , , не существовать такие числа и k, что = + k ?

4. Даны векторы (1, 2, 3), (2, –1, 1), (3, 1, –4) и (–1, 8, 7). Доказать, что: а) векторы , , линейно независимы, б) вектор принадлежит векторному подпространству, натянутому на векторы и .

Тема 1.6. Применение векторов к решению задач

школьного курса геометрии

Литература: [2], гл. 1, § 10, стр. 42–45; [19], гл. 1, § 1.6, стр. 86–105.

Основные сведения

Векторная алгебра может быть весьма успешно использована при решении широкого класса содержательных геометрических (аффинных и метрических) задач. Аффинные задачи характеризуются тем, что все участвующие в них объекты и отношения определяются отношением отрезков, площадей, параллельностью. В метрических же задачах – длинами отрезков, величинами углов.

Как правило, векторное решение геометрической задачи позволяет автоматически, или после несложного анализа полученных формул и уравнений, сделать интересные обобщения доказываемых геометрических фактов.

Алгоритм применения векторов при решении геометрических задач состоит из следующих этапов:

1. Выясняем, является ли рассматриваемая задача аффинной или же метрической.

2. Если задача аффинная, то, как правило, выбираем произвольный базис или вводим в рассмотрение наименьшее количество векторов, через которые можно выразить все интересующие нас векторы. Если же задача метрическая, то, как правило, выбираем ортонормированный базис.

3. Все, что дано в задаче, записываем с помощью векторов.

4. Все, что необходимо найти или доказать, записываем с помощью векторов.

5. С помощью алгебраических преобразований из того, что дано, получаем, что необходимо.

Из приведенного алгоритма видно, что если задачу можно перевести на язык векторов, то она решается с помощью векторов. И для успешного использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов или на язык координат.

Ниже, в таблице, приведены часто встречающиеся примеры.

На языке геометрических фактов	На языке векторов	На языке координат векторов
Прямые и параллельны.	Векторы и коллинеарны или = t (здесь и - направляющие векторы прямых и соответственно)	Координаты векторов и пропорциональны, т.е. .
Точки А, В и С лежат на одной прямой.		Координаты векторов и пропорциональны, т.е. .
Точка С лежит между точками А и В.	, < <	Координаты векторов и пропорциональны, т.е. .
Точки А и В симметричны относительно точки О.	или	Соответствующие координаты векторов и равны или соответствующие координаты вектора вдвое больше соответствующих координат вектора .
Угол между прямыми и : 1) прямой; 2) острый; 3) тупой;	1) ; 2) ; 3) ;	Если координаты векторов заданы в ортонормированном базисе: 1) ; 2) ; 3) .

Задание: Для ускорения усвоения этого метода рекомендуем после решения каждой из рассматриваемых задач продумать, какая информация, чем была заменена в процессе работы, и продолжить заполнение таблицы.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

Решение. Пусть медианы AD и BE пересекаются в точке О. Докажем, что третья медиана СМ тоже проходит через точку О. Из приведенной выше таблицы видно, что это все равно, что доказать коллинеарность векторов и . Эта задача аффинная.

Пусть = , = . Замечаем, что векторы и можно выразить через векторы и :

, .

Так как , то , .

Аналогично, , поэтому:

, .

Найдем вектор . С одной стороны:

.

С другой стороны:

.

Значит, .

Так как векторы и линейно независимы, то отсюда:

Значит, , , .

Сравнив векторы и , заключаем: .

Следовательно, третья медиана СМ тоже проходит через точку О.

Пример 2. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть высоты АD и ВН пересекаются в точке О (Рис. 10). Обозначим , , . Тогда , , .

, то есть, . , т.е. .

Вычтя из первого подчеркнутого равенства второе, получим , т.е. или . Следовательно, перпендикулярно Значит, и третья высота треугольника проходит так же через точку О.

Задачи

1. С помощью векторов докажите следующие утверждения: а) если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм; б) сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; в) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; г) средняя линия треугольника параллельна основанию и длина ее равна половине длины основания.

2. Доказать, что в треугольнике ABC угол прямой тогда и только тогда, когда AC ² = AB ² + BC ².

3. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложенной с удвоенным произведением длин оснований.

4. В кубе найти величину угла: а) между диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями соседних граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.

5. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).

6. Доказать, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

7. Доказать, что в четырехугольнике ABCD имеет место равенство: , где M, N – соответственно середины сторон AD и BC. Пользуясь этим равенством, докажите, что средняя линия трапеции (треугольника) параллельна основаниям (основанию) и равна их (ее) половине.