Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В. 3 страница

(–3, 6, 3); б) (5, 2, 1), (–1, 4, 2), (–1, –1, 6); в) (6, –18, 12), (–8, 20, –16), (8, 7, 3).

7. Среди векторов (0, –3, 0), (–2, 0, 5), (0, 2, –1), (0, 0, 4), (1, 0, 0), (0, 1, –3), (1, –2, 7), (0, 0, 0), заданных в базисе , указать векторы: 1)коллинеарные ; 2) компланарные с векторами и .

8. Даны векторы , и . Выяснить, являются ли они линейно зависимыми, если: а) (–3, 0, 2), (2, 1, –4), (3, –2, 4); б) (1, 0, 7), (–1, 2, 4), (3, 2, 1); в) (5, –1, 4), (3, –5, 2), (–1, –13, –2).

9. Дана треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁. Приняв векторы за базисные, найти координаты вектора , где M – центр параллелограмма BCC ₁ B ₁, N – центр тяжести треугольника A ₁ B ₁ C ₁.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что точка C лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что = λ +(1– λ) (О – произвольная точка пространства).

2. Доказать, что для любых векторов , , и чисел α, β, γ векторы α – β , γ – α , β – γ компланарны.

3. Дана трапеция ABCD, у которой нижнее основание AB в два раза больше верхнего CD. Выразить векторы , через векторы = и = .

Домашнее задание

1. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Приняв векторы за базисные, найти координаты векторов , , где M – середина отрезка AD и (BC, P) = 2, где (BC, P) = означает, что .

2. Найти линейную зависимость между векторами: а) (1, 3, 0), (5, 10, 0), (4, –2, 6); (11, 16, 3); б) (2, 3, 1), (5, 7, 0), (3, –2, 4);

(4, 12, –3); в) (0, –3, 4), (5, 2, 0), (–6, 0, 1); (25, –22, 16).

3. Определить длины суммы и разности векторов и , если известны их координаты в ортонормированном базисе: (3, –5, 8), (–1, 1, 4).

Тема 1.4. Скалярное произведение векторов

Литература: [1], гл. 4, §2, стр. 69–73; [3], гл. 2, §2, стр. 59–63; [7], гл. 6, §24, стр. 203–217.

Основные определения, теоремы и формулы

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается через . Если хотя бы один из векторов и равен нулевому, то =0. Итак, по определению . Число называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Таким образом, .

Теорема. Для произвольного числа и произвольных векторов и справедливы следующие равенства:

1) ,

2) и ,

3)

Если известны координаты векторов и относительно ортонормированного базиса, то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных координат, то есть, если (), (), то

= ,

и угол между этими векторами можно определить по формуле:

.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение угла между векторами.

2. Чему равен угол между векторами, если хотя бы один из векторов нулевой?

3. Какой можно сделать вывод, если:

1) = 0; 2) < 0; 3) > 0?

4. Для каждого из случаев, приведенных в предыдущей задаче, сформулируйте обратные утверждения. Справедливы ли они?

5. В чем состоит геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе?

6. Сравните свойства скалярного произведения векторов со свойствами умножения чисел. Перечислите общие свойства этих произведений. Какими свойствами умножения чисел скалярное произведение не обладает? Объясните почему.

7. Пусть = . Следует ли отсюда, что ?

Пример 1. Доказать, что вектор ортогонален вектору .

Решение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов и :

= .

Следовательно, векторы и ортогональны.

Пример 2. Треугольник АВС задан векторами и . Выразить через векторы и вектор , где AH – высота треугольника (Рис. 9).

Решение. Выразим вектор через векторы и : = + = + . Так как вектор коллинеарен вектору , то . Тогда = + . Для нахождения величины воспользуемся перпендикулярностью векторов и . Так как они перпендикулярны, то =0, то есть, ( + )( =0. Отсюда и = .

Задачи

1. a) Вычислить скалярное произведение векторов =3 –2 и = +2 , если векторы и образуют угол φ = и ;

б) Вычислить скалярное произведение векторов =3 –2 и = +2 , если известны координаты векторов и в ортонормированном базисе: (4, –2, –4), (6, –3, 2).

2. В ортонормированном базисе даны векторы и . Найти: 1) cos , 2) .

3. Известно, что векторы , , ненулевые и вектор не ортогонален векторам и . При каком условии выполняется равенство = ?

4. В пространстве даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: =0, =0, =0.

5. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов: а) = ; б) ( + )²= +2 + ;

в) ( )²= ; г) ( ( ) – ( )) =0.

6. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы = +2 и =5 – 4 взаимно перпендикулярны?

7. Вычислите внутренние углы треугольника ABC и убедитесь, что треугольник равнобедренный, если и

8. Вычислите тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника.

9. Дан параллелограмм ABCD. Дать геометрическое истолкование равенств: 1) ()² – ( – )²=4 · ;

2) ( + )² + ( – )²=2( ²+ ²);

3) ()( – )= ²– ².

Задачи повышенной трудности

1. Дан тетраэдр SABC. Известны координаты векторов , и в ортонормированном базисе. Найти высоту SH этого тетраэдра.

2. Доказать, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длину суммы оставшихся трех векторов.

Указание: попробуйте рассуждать методом от противного.

3. На окружности радиуса 1 с центром в точке O дано 2 n +1 точек A ₁, A ₂, …, A _{2 n +1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Доказать, что .

Указание: воспользуйтесь методом математической индукции.

Домашнее задание

1. Доказать, что ABCD – квадрат, если векторы и в ортонормированном базисе имеют следующие координаты: (3; 5; 4), (–4 (–3; –5; –4).

2. Вектор образует с векторами и ортонормированного базиса , , соответственно углы 120⁰ и 135⁰. Найти угол, который образует вектор с ортом .

3. ABCD – параллелограмм. Доказать, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны, если в ортогональном базисе (6; 3; –1).