Домашнее задание

1. Найти диагонали параллелепипеда, зная три его ребра, выходящих из одной вершины, и углы между ними.

2. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

3. В правильном тетраэдре найти угол между медианами граней, выходящих из одной вершины.

Индивидуальные задания по векторной алгебре

Вариант I

1. Дан тетраэдр АВСD, точка М – центр тяжести грани АВС, N и К – середины ребер ВD и DА соответственно. Найти координаты векторов , , и в базисе , , .

2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА ₁ В ₁ C ₁ D ₁ диагонали А ₁ В и В ₁ С его граней наклонены к плоскости основания под углами 30° и 60°. Вычислить угол между этими диагоналями.

3. М и М ₁ – точки пересечения медиан треугольников АВС и А ₁ В ₁ С ₁. Доказать, что .

4. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов прямого трехгранного угла.

5. В четырехугольнике АВСD суммы квадратов длин противоположных сторон равны. Методом векторов доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Вариант 2

1. Дана треугольная призма АВСА ₁ В ₁ С _1, N – середина отрезка B ₁ C ₁, М – точка пересечения прямых А ₁ В и АВ ₁. Найти координаты векторов в базисе .

2. Дан треугольник АВС такой, что в ортонормированном базисе

(–2, 3), (0, 1). Найти длину высоты ВН и угол между векторами и .

3. Доказать, что если для неколлинеарных векторов и выполнено условие , то .

4. Найти угол между биссектрисами АА ₁ и АА ₂, двух граней правильного тетраэдра АВСD.

5. В правильном тетраэдре АВСD, М и N – центры граней ВСD и АСD соответственно. Найти угол между векторами и .

Вариант 3

1. В тетраэдре АВСD точка М – центр тяжести грани ВСD, К и L – середины ребер АD и BD соответственно. Найти координаты векторов в базисе

2. Найти длину биссектрисы BD треугольника АВС, если известно, что АВ = 2, BC = 3, АВС = 60°.

3. Доказать, что если вектора и перпендикулярны, то .

4. Доказать, что в четырехугольнике с взаимно перпендикулярными диагоналями сумма площадей квадратов, построенных на одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей квадратов, построенных на другой паре таких сторон.

5. Найти угол между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Вариант 4

1. Дана правильная треугольная призма АВСА ₁ В ₁ С ₁, у которой все ребра равны. Найти угол между векторами и , где М – середина ребра В ₁ С ₁.

2. Точка О – центр параллелограмма АВСD. Найти координаты векторов в базисе , где М – середина стороны ВС.

3. Пусть - медианы треугольника, сторонами которого являются отрезки . Доказать, что

4. Найти длину высоты АН треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, АС = 2.

5. Доказать, что если в тетраэдре имеется две пары взаимно перпендикулярных противоположных ребер, то и оставшиеся два ребра будут взаимно перпендикулярными.

Вариант 5

1. Дан параллелепипед АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁, точка М – центр грани ВСС ₁ В ₁. Найти координаты вектора в базисе .

2. Дан угол АВС, причем известны координаты векторов

(–3, 0, 4) и (5, –2, –14) в ортонормированном базисе. Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с биссектрисой данного угла.

3. Пусть АН – высота, AM – медиана треугольника АВС, в котором ВАС = 60°, АВ = 3, СА = 4. Найти координата векторов в базисе .

4. В трапеции АВСD основание АD в пять раз больше основания ВС. Найти длины диагоналей трапеции и угол между ними, если известно, что АВ = 6, АD = 10, ВАD = 60°.

5. В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением . Доказать, что медианы АА ₁ и ВВ ₁ взаимно перпендикулярны.

Вариант 6

1. В параллелепипеде АВСDА ₁ В ₁ C ₁ D ₁ точки М и N – середины ребер А ₁ D и ВС соответственно. Найти координаты вектора в базисе .

2. Векторы (2, –3, 0), (1, 1, 0) заданы своими координатами в базисе , где угол между векторами равен 60°, а углы между векторами и равны 45°. Найти угол между векторами , и длину вектора + .

3. Пусть CН – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого утла к гипотенузе АВ. Найти координаты вектора в базисе , если известно, что | СА | = , | СВ | = .

4. Найти величину двугранного угла при ребре правильного тетраэдра.

5. Доказать, что прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна каждому из них.

Вариант 7

I. Дана правильная треугольная призма ABCA ₁ B ₁ C ₁, все ребра которой равны . Точка М принадлежит ребру В ₁ С ₁, причем В ₁ М относится к МС ₁, как 2: 1, точка О – центр грани AВС. Найти длину отрезка ОМ.

2. Компланарны ли векторы (1, 2, 4), (3, 2, 1), (–1, 2, 7)?

3. Пусть CH – высота, СD – биссектриса треугольника АВС, в котором С – прямой, СА =3, СВ = 4. Найти координаты векторов в базисе .

4. Пусть и – ненулевые коллинеарные векторы, α и β – данные вещественные числа. При каком условии существует решение системы уравнений ?

5. Дан куб АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁. Методом векторов доказать, что его диагональ АС ₁ перпендикулярна плоскости А ₁ ВD.

Вариант 8

1. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD боковыми гранями являются правильные треугольники со стороной . Найти расстояние между серединами ребер SA и СD.

2. При каких значениях α и β векторы (–2, 3, α) и (β, – 6, 2): а) коллинеарны; б) взаимно ортогональны; в) имеют равные длины? В случаях б) и в) предполагается, что базис – ортонормированный.

3. Дан квадрат ABCD; E – середина стороны АD, точка F – принадлежит прямой AC. Доказать, что прямые EF и FB взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда или F = A.

4. С помощью векторов доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

5. Доказать следующее утверждение: для того, чтобы каждая пара противоположных ребер АВ и СD, АС и ВD, ВС и АD тетраэдра АВСD была взаимно перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы АВ ² + СD ² = = AС ² + ВD ² = ВС ² + АD ².

Вариант 9

1. Зная длины всех шести ребер тетраэдра, найти длины отрезков, соединяющих попарно середины противоположных ребер.

2. Даны тройки векторов: а) (–3, 0, 2), (2, 1–4), (11, –2, –2),

6) (1, 0, 7), (–1, 2, 4), (3, 2, 1). Найти среди них тройку компланарных векторов.

3. Дан треугольник АВС, причем известно, что в ортонормированном базисе (3, 0), (0, 1). Найти величину угла между высотой АН и медианой ВМ этого треугольника.

4. Даны ненулевой вектор и вещественное число λ. Выяснить геометрический смысл решений уравнения = λ.

5. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Вариант 10

1. Диагональ АС ₁ прямоугольного параллелепипеда образует с каждым из двух ребер, выходящих из точки А, угол 60°. Какой угол она образует с третьим ребром, выходящим из той же точки А?

2. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

3. Найти наименьшую размерность векторного пространства, содержащего векторы (1, 2, 4), (3, 2, 1), (–1, 2, 7).

4. В трапеции АВСD основание АВ в два раза больше основания СD, О и Е – точки пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон соответственно. Найти ОЕ, если АВ = 8, АD = 6, DАВ = 60°.

5. Сформулировать и доказать теорему обратную теореме Пифагора.

Раздел 2. Метод координат на плоскости

Изучая элементарную геометрию в объеме школьной программы, вы могли обратить внимание на одно важное обстоятельство: способы доказательств различных теорем, по своему содержанию часто довольно близких друг к другу, совершенно различны и мало связаны друг с другом. Например, сравните, приведенные в школьном учебнике, доказательства следующих теорем:

1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

3. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказав одну из этих теорем, мы ничего не приобретаем в смысле указания на то, как приступить к доказательству следующей. Ясно, что при этих условиях решение геометрических задач представляет громадные трудности и требует большого искусства геометров. Из истории развития математики известно, что в XVII веке возникла потребность в создании такого общего метода в геометрии, который был бы одинаково пригоден для решения самых разнообразных задач и для исследования самых разнообразных кривых. Именно таким методом является метод координат.

Независимо друг от друга основы аналитического метода были открыты в 1636–1637 гг. французскими математиками Пьером Ферма (1601–1665) и Рене Декартом (1596–1650). Распространение методов аналитической геометрии на пространственные образы было сделано значительно позже французским математиком Клеро (1713–1765).

Теперь переходим к систематическому изучению аналитического метода. Основная наша задача состоит в том, чтобы научиться составлять уравнения различных линий и использовать их при решении геометрических задач.

Тема 2.1. Аффинная система координат. Аффинные задачи

Литература: [1], гл. 3, §1, стр. 55–58; [3], гл. 1, §2, стр. 16–17; [4], гл. 6, §23, стр. 189–203.

Основные определения, теоремы и формулы

Тройка, состоящая из точки O и базиса , называется аффинной системой координат на плоскости и обозначается символом: O или (O, ) (рис. 11). Вектор (рис. 12) называется радиус-вектором точки M (относительно точки O).

Если , то числа и называются координатами точки M в системе координат O, . Число называется абсциссой точки M, а число – ординатой; пишут M (, ). Заметим, что , .

делит (направленный) отрезок в отношении

Координаты точки M, делящей направленный отрезок в данном отношении выражаются через соответствующие координаты концов отрезка по следующим формулам: .

Вопросы для повторения.

1. Что такое аффинная система координат? Как она задается? Как обозначается?

2. Как определяются координаты точки в аффинной системе координат?

3. Докажите, что если на плоскости задана аффинная система координат, то между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие.

4. Покажите на примерах как построить точку по ее заданным координатам в аффинной системе координат.

5. Докажите, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.

6. Точка M делит направленный отрезок в отношении . В каком отношении точка M делит отрезок ?

7. В каком отношении делится направленный отрезок : а) точкой A; б) точкой B; в) серединой M отрезка AB?

8. Как выражаются координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении , через соответствующие координаты концов отрезка?

9. Покажите, что для любого действительного числа , отличного от –1, на прямой АВ существует одна и только одна точка М, делящая направленный отрезок АВ в отношении .

8. Какие значения принимает λ, когда точка М прямой М ₁ М ₂ лежит на: а) отрезке М ₁ М ₂, б) луче, М ₁ М ₂; в) луче, дополнительном к лучу М ₁ М ₂?

9. Точка М делит направленный отрезок М ₁ М ₂ в отношении λ. Как перемещается точка М на прямой М ₁ М ₂, если известно, что:

а) λ → 0; б) λ → + ; в) λ → – ; г) λ → –1.

10. Постойте точки Р ₁, Р ₂, Р ₃, делящие данный направленный отрезок в отношении: 1) ₁ = 3, 2) ₂ = –2, 3) ₃ =– .

Пример 1. В трапеции ABCD нижнее основание AB в три раза больше верхнего основания CD. Принимая за начало координат точку A, за положительное направление оси абсцисс – направление боковой стороны AD, а стороны AB и AD – за единичные отрезки на этих осях, найти координаты вершин трапеции, а также координаты точки O пересечения ее диагоналей и координаты S пересечения ее боковых сторон (Рис. 13).

Решение. По условию задачи аффинная система координат задана точкой A и векторами и . Поэтому A (0, 0), B (1, 0), D (0, 1). Так как = , то + = + . Значит, C (; 1).

Замечаем, что гомотетия с центром в точке S и коэффициентом 3 переводит отрезок DC в отрезок AB. Следовательно, , т. е. точка S делит отрезок AD в отношении , и , ; .

Найдем теперь координаты точки O в системе координат (A, , ). Для этого необходимо найти разложение вектора по векторам и .

Так как ∆ AOB подобен ∆ COD, и коэффициент подобия равен 3, то =3 . Записав это равенство в координатах, получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решая которую, получим:

; ; .

Пример 2. Найдите аффинные координаты точки, симметричной точке относительно точки .

Решение. Пусть – искомая точка. Тогда = . Переходя к координатам, получим , . Отсюда , .

Задачи

1. В заданной системе координат (O, ) построить следующие точки: A (− 1, 0), B (− 2, 1), C (1, 1), D (− 3, 2), E (0, − 2), R (3, − 3).

2. Найти координаты середин отрезков A ₁ B ₁, A ₂ B ₂, A ₃ B ₃, если:

A ₁(− 1, 5), B ₁(− 3, 3), A ₂(0, 4), B ₂(3, 2), A ₃(− 2, 6), B ₃(1, 4).

3. На прямой отмечена последовательность точек A ₁, A ₂, A ₃, A ₄, A ₅, A ₆ так, что A ₁ A ₂ = A ₂ A ₃ = A ₃ A ₄ = A ₄ A ₅ = A ₅, A ₆. Зная координаты точек A ₂(2, 5) и A ₃(− 1, 7), определить отношения, в которых точки A ₁, A ₃, A ₄, A ₆ делят отрезок A ₂ A ₅, а также координаты этих точек.

4. По координатам трех вершин A, B, C параллелограмма вычислить координаты четвертой вершины: 1) A (1, 4), B (3, − 1), C (0, 2); 2) A (− 1, 0), B (2, 1), C (4, − 1).

5. Доказать, что точки A, B и C принадлежат одной прямой и выяснить, какая из трех точек лежит между двумя другими, если: 1) A (2, 1), B (0, 5), C (4, − 3); 2) A (− 1, 0), B (1, − 2), C (3, − 4).

6. Точки K и M – середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Найти координаты вершин параллелограмма в репере (A, K, M).

7. Найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с вершинами A (− 2, 14), B (4, − 2), C (6, − 2), D (6, 10).

8. Заполните таблицу: