Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В. 2 страница

2) Возьмем произвольную точку М пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению разности векторов .

Задачи

1. Дан вектор . Построить векторы: а) ; б) ; в) .

2. Дано . Каким условиям должны удовлетворять числа и , чтобы точка C принадлежала: 1) прямой AB, 2) лучу AB,

3) отрезку AB?

3. Записать с помощью векторов условие того, что четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и СD.

4. На прямой даны точки и . Существует ли на этой прямой точка , такая, что ?

5. Точка M – середина отрезка AB, O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

6. В треугольнике ABC отрезки AM и AN являются соответственно медианой и биссектрисой внутреннего угла. Выразить векторы и через векторы .

7. Доказать, что если ABCDEF – правильный шестиугольник, то .

8. Угол AOB меньше развернутого. Используя векторы и , найти вектор, параллельный биссектрисе данного угла.

Задачи повышенной трудности

1. Точка O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и M и N - середины его противоположных сторон AB и CD лежат на одной прямой. Доказать, что четырехугольник ABCD – трапеция или параллелограмм.

2. Даны правильный n – угольник A ₁, A ₂, …, A_n с центром O и произвольная точка M пространства. Доказать, что: а) б) .

3. Доказать, что точка M – центр тяжести треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

Домашнее задание

1. По данным векторам и построить векторы:

а) 3 ; б) –2 + .

2. Точка M – центр параллелограмма ABCD, а O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

3. В параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ направленные отрезки, совпадающие с его ребрами, определяют векторы: . Построить каждый из следующих векторов:

а) + – ; б) ; в) – – + .

4. Дан вектор , длина которого равна 3. Построить вектор , если его длина равна 5, и он направлен противоположно вектору .

Тема 1.3. Коллинеарные и компланарные векторы.

Линейная зависимость векторов.

Координаты вектора в базисе

Литература: [1], гл. 2, §§ 4–6, стр. 44–52; [2], гл. 4, §§ 14–15, стр. 65–70; [3], гл. 2, §1, стр. 48–55; [7], гл. 4, §§ 15–17, стр. 130–156.

Основные определения, теоремы и формулы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема 1.Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число такое, что .

Векторы и называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема 2.Если векторы и компланарны, а векторы не коллинеарны, то существуют единственные числа и такие, что .

Рассмотрим систему векторов и зададим n действительных чисел . Вектор

называется линейной комбинацией данных векторов .

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что .

Если же равенство справедливо только при , то система векторов называется линейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1) она упорядочена,

2) линейно независима,

3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы.

Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы и не компланарны, то для любого вектора существуют единственные числа и такие, что .

Пусть B = () – базис векторного пространства V и V. Если , то числа называются координатами вектора относительно базиса B и записывают ().

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис B называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно ортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются .

Теорема 5. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисе вычисляется по формуле

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое подсистема системы векторов?

2. Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?

3. Векторы и коллинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторов и ?

4. Если векторы и компланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторов и , линейно зависима?

5. Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору , то коллинеарен »?

6. Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов;

2) противоположных векторов?

7. Может ли система, состоящая из одного вектора, быть:

1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?

8. Дан вектор относительно базиса B = () векторного пространства V. Каковы координаты

1) векторов относительно базиса B?

2) Вектора относительно базиса B ΄ =()?

Пример 1. Даны неколлинеарные векторы и . Коллинеарны ли векторы и ?

Решение 1. В разложении вектора вынесем за скобку :

. Тогда , что свидетельствует о том, что векторы и коллинеарны и противоположно направлены.

Решение 2. Неколлинеарные векторы и образуют базис двумерного векторного пространства. Коэффициенты в разложении векторов и по векторам и являются координатами этих векторов в указанном базисе. Выпишем координаты в этом базисе: , . Так как, два вектора коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам пропорциональны, то, проверяя это условие для векторов и : , убеждаемся в их коллинеарности.

Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между векторами и , надо из определяющих их равенств, исключить векторы и . Если этого сделать нельзя, то векторы и не коллинеарны.

Из первого разложения вектор . Из второго разложения исключим вектор . Тогда из последних равенств имеем . Отсюда: . Что и свидетельствует о коллинеарности векторов и .

Пример 2. Из точки О отложены два вектора и . Найти какой-нибудь вектор , параллельный биссектрисе угла АОВ.

Решение. Найдем орты и векторов и . Отложим их от точки O и построим на них как на сторонах ромб (рис. 7). Так как диагональ ромба делит его углы пополам, то вектор , направлен по биссектрисе угла АОВ.

Пример 3. Даны три вектора (3, –1), (1, –2), (–1, 7). Разложить вектор по базису (, ).

Решение. Пусть () – базис, в котором заданы координаты векторов , и , и пустьвектор в этом базисе имеет координаты (p ₁, p ₂). Зная координаты векторов , и , найдем координаты вектора :

, то есть, (3, 4). Если a и b – коэффициенты разложения вектора по базису , , то . Разложим векторы , и по векторам базиса ():

= , = , = , = .

Тогда = = + = =a() + b ().

Так как два вектора равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты, то 3 = 3a+b, 4= –a – 2b, откуда a=2, b= –3. Тогда =2 –3 .

Пример 4. Разложить ветер, идущий со скоростью 10 м/с с северо-западного направления под углом к северу, на западную и северную компоненты.

Решение. На рисунке 8 вектор – вектор скорости ветра, а векторы и – его составляющие (восточная и южная) компоненты. Так как АВСD – прямоугольник, то = sin = 5;

= сos =5 . Значит, восточная компонента равна 5 м/c, а южная – 5 м/с.

Задачи

1. Доказать, что отношение коллинеарности векторов является отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности на множестве всех векторов?

2. Доказать, что если векторы и не коллинерны, то векторы + и =3 – также не коллинеарны.

3. Дан параллелепипед ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, точки P и F – середины ребер AD и AA ₁ соответственно. Выяснить, компланарны ли векторы: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Даны координаты трех векторов (–2, 3, 4), (7, 0, 2) и (–6, 5, –1). Найти координаты векторов и . Коллинеарны ли векторы и ?

5. Дана трапеция ABCD (. Точки M и N – середины оснований AB и CD соответственно, P – точка пересечений диагоналей трапеции.

1) Приняв векторы и за базисные, найти координаты векторов ;

2) Приняв векторы и за базисные найти координаты векторов

6. Установить, какие из следующих троек векторов , и линейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить вектор как линейную комбинацию векторов и : а) (6, 4, 2), (–9, 6, 3),