Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метрические задачи
|
|
Литература: [1], гл.4, §4, стр. 77− 84; [7], гл.2, § 16, стр. 59–62.
Основные определения, теоремы и формулы
Зададим на ориентированной плоскости точку O и единичный вектор 
. Пара, состоящая из точки O и вектора , называется полярной системой координат и обозначается так: (O, ). Точка O называется полюсом, а прямая, проходящая через точку O и параллельную вектору 
, на которой положительное направление определено этим вектором, называется полярной осью.
 |
Если OM =ρ и направленный угол между векторами
и 
равен φ (Рис. 15), то ρ называется полярным радиусом точки M, а число φ – полярным углом, коротко пишут: M (ρ, φ). К каждой полярной системе координат (O, 
) можно присоединить положительно ориентированную прямоугольную систему координат 
, началом которой служит полюс O, первым координатным вектором – вектор и направленный угол между векторами и 
равен 
(Рис. 16). При этом полярные и прямоугольно декартовые координаты связаны соотношениями:
.
Вопросы для самоконтроля
1. Постройте точки по их полярным координатам: А 
, В 
, С 
, D 
, Е 
, F 
.
2. Определите координаты точек A, B, C, D, E, F из предыдущей задачи в присоединенной прямоугольной системе координат.
3. Какие полярные координаты у точки, симметричной точке А относительно: 1) полюса; 2) полярной оси?
4. Каким уравнением в полярных координатах задается полярная ось?
5. Что такое обобщенные полярные координаты? Приведите примеры.
Пример 1. Найти радиус вписанной в треугольник окружности, если одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной системы координат, а другие в точках 
и 
.
Решение. Из геометрии известно, что 
, где S – площадь треугольника, P – его периметр. Площадь треугольника вычислим по формуле
, 
и 
известны, они равны соответственно 2 и 4. Длину стороны AB найдем по теореме косинусов. Тогда
,
.
Пример 2. Найти полярные координаты точки A, если ее декартовы координаты х= − 1, у= 3 (полярная ось совпадает с положительной полуосью ОХ) (Рис. 18).
Решение. Замечаем, что 
, 
, 
; так как точка А лежит во II координатной четверти (x< 0, y> 0), то 
, 
.
Пример 3. Построить кривую (кардиоиду) 
, а – постоянная.
Решение. Придадим 
различные значения и вычислим, пользуясь уравнением кривой, соответствующие значения 
. Результаты занесем в таблицу:
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| R | 2 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
Для удобства взяты только те значения , для которых 
вычисляется просто, вычисления приведены с точностью до 0, 1.
Нетрудно заметить, что 
и, значит, кривая симметрична относительно полярной оси. Теперь по точкам построим кривую:
Задачи
1. Построить точки, заданные обобщенными полярными координатами: A (2, 
), B (− 1, 
), C (− 
), D (− 3, 
).
2. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам
A (2, ), B (3, 
), C (
) относительно: а) полюса; б) относительно полярной оси.
3. Даны полярные координаты точек A (2, ), B (
), D (3, ). Определить их координаты в присоединенной прямоугольной декартовой системе координат.
4. В полярной системе координат даны точки A (8, − ) и B (6, ). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки A и B.
5. В полярной системе координат даны точки M (r 1, θ 1) и N (r 2, θ 2). Определить расстояние MN.
6. В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата A (12, − 
), B (3, 
). Определить его площадь.
7. Одна из вершин треугольника находится в полюсе O, а две другие суть точки A (r 1, θ 1), B (r 2, θ 2). Вычислить площадь треугольника OAB.
8. Вычислить площадь треугольника, вершины которого A (3, 
), B (8, 
), C (6, 
) заданы в полярных координатах.
9. В полярной системе координат даны точки M 1(1, 0), M 2(2, 0), M 3(2, ), M 4(
, 
), M 5(1, 
). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением r = 2 cos θ. Какая линия определяется данным уравнением? Изобразите ее на чертеже.
10. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр C (ρ 0, φ 0) радиуса r.
11. Прямая, перпендикулярная полярной оси, отсекает на ней отрезок, равный трем. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
12. Даны уравнения линий в полярных координатах:
1) r = 2 R cos θ; 2) r = 2 R sin θ; 3) r = 2 p 
sin θ. Определить, какая фигура задана каждым из уравнений и построить ее схематический чертеж.
Домашнее задание
1. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника A (4, − 
) и B (8, 
). Определить его площадь.
2. Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:
1) r = 2 θ; 2) r = − 
.
3. В полярных координатах составить уравнение фигуры, каждая точка которой удалена от полярной оси на 5 единиц.
Тема 2.4. Ориентация плоскости.