Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В. 1 страница

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

П.Н. МИХАЙЛОВ, А.Ф. ШАБАЕВА, Н.В. ШУСТРОВА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ.

Практические занятия, часть 1

Учебное пособие

Уфа 2013

УДК 513 (075)+514.752.2+514.752.4

ББК 22.151

М 69

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор Кутрунов В.Н. (кафедра алгебры и математической логики ТюмГУ);

кафедра геометрии и компьютерных наук (Оренбургский государственный университет);

кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике (Стерлитамакский филиал Башкирского государственнго университета).

Михайлов П.Н., Шабаева А.Ф., Шустрова Н.В.

М 69 Векторная алгебра. Аналитическая геометрия задачах. Практические занятия, часть1: Учебное пособие для университетов. - Уфа: БашГУ, 2013. – 223 с.

Учебное пособие содержит разработки практических занятий по многомерной геометрии, основам теоретико-множественной топологии и дифференциальной геометрии (линии и поверхности в евклидовом пространстве).

Предназначено для студентов очного и заочного отделений с пециальности.

УДК 513 (075)+514.112 +514.742.2

ББК 22.151

ISBN © Баш ГУ, 2013 г. © Михайлов П.Н., 2013 г.

© Шабаева А.Ф., 2013 г.

© Шустрова Н.В., 2013 г.

Вузовский курс является естественным продолжением школьного курса геометрии. Так, в первом семестре, на основе системы аксиом школьного курса, согласно ФГОС, изучаются такие вопросы, как:

1) векторная алгебра,

2) метод координат на плоскости; прямые и линии второго порядка,

3) применение векторов и метода координат к решению различных геометрических задач, в частности задач из элементарной геометрии,

4) преобразования плоскости и их приложения к решению задач,

5) метод координат в пространстве,

6) изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

В пособии основное внимание уделяется алгебраическому подходу в изучении геометрических объектов, который должен помочь в создании полного и единого представления о предмете геометрии вообще, в частности школьной.

Все содержание пособия разбито на темы, рассчитанные для изучения на одном практическом занятии. К каждому занятию приводится рекомендуемая литература, основные определения, теоремы и формулы, вопросы для самоконтроля, образцы решения типовых задач, список задач, рекомендованных для решения на занятии, задачи повышенной трудности и задание для выполнения вне занятия. Тематическое планирование занятий отражает опыт авторов в реальных условиях преподавания.

Данное пособие призвано помочь студентам в организации плодотворной самостоятельной работы при изучении геометрии, обратить внимание на наиболее важные вопросы теории и подходы к поиску решения задач. Всему этому, как нам кажется, будет содействовать самостоятельное продумывание студентами ответов на вопросы для самоконтроля при подготовке к практическому занятию по соответствующей теме, работа над задачами дома и решение задач на занятиях под руководством преподавателя, где различные способы решения этих задач должны стать предметом особого внимания. Так же самостоятельному овладению способами решения задач по геометрии помогут предлагаемые к каждой теме типовые задачи с решениями.

При подготовке к занятиям рекомендуем студентам внимательно ознакомиться с содержанием лекций и разделов учебников, которые указаны отдельно по каждой теме. Заметим, что здесь указана только основная литература, со списком дополнительной литературы можно ознакомиться по рабочей программе преподавателя.

Пользуясь вопросами для самоконтроля, необходимо убедиться в том, что теоретический материал хорошо усвоен. Затем приступить к решению задач. В случае если возникнут вопросы при решении какой-либо задачи, рекомендуем внимательно изучить, приведенное в пособии, решение схожей задачи.

В дальнейшем изложении будем придерживаться следующих обозначений:

1) точки обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C, …;

2) прямые – малыми первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, … или двумя большими буквами: AB, CD, …;

3) плоскости – малыми буквами греческого алфавита: или тремя большими буквами: ABC, EFC, …;

4) лучи будем обозначать малыми промежуточными буквами латинского алфавита: или двумя большими буквами: OA, KB, …; в этом случае на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором буква, обозначающая какую-нибудь точку на луче;

5) отрезок с концами A и B обозначается так: AB или BA, длина отрезка обозначается тем же символом AB или , если важно подчеркнуть, что имеется в виду длина отрезка, однако непосредственно из текста этого не видно;

6) для сокращения записи будем применять различные знаки, известные из элементарной теории множеств и логики: Î, Ì, Ç, È, Ï, =, ¹, Þ, Û.

Также часто будем пользоваться следующими обозначением: í /…ý – множество элементов , таких, что … (после знака указывается свойство, какими обладают элементы этого множества). Другие обозначения будут пояснены в ходе последующего изложения, по мере возникновения необходимости.

Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.

Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.

Сложение и вычитание векторов

Литература: [1], гл. 2, §1, 2, стр. 32–38; [2], гл. 3, 4 § 10 – 15, стр. 54–70; [3], гл. 1, § 1, стр. 13–15; [7], гл. 4, § 13–15, стр. 117–130.

Основные определения, теоремы и формулы

Отрезок называется направленным, если указаны его начало и конец. Если A – начало, а B – конец направленного отрезка, то такой направленный отрезок обозначается так: .

Два направленных отрезка называются эквипаллентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Например, пусть ABCD – квадрат (рис. 1). Тогда направленные отрезки и эквиполлентны, и не эквиполлентны, они имеют одинаковые длины, но разные направления.

Вектор – это множество направленных отрезков, любые два из которых эквиполлентны. Вектор обозначается одной буквой, над которой ставится стрелка: . Если направленный отрезок - представитель вектора , то направленный отрезок вполне определяет весь класс ему эквиполлентных направленных отрезков. Поэтому если , то вектор обозначают также .

суммой векторов

: .

Теорема: Для любых векторов , и справедливы следующие равенства:

1. (свойство коммутативности).

2. (свойство ассоциативности).

Разностью двух векторов и называется вектор такой, что + = . Разность векторов и обозначается – . По правилу треугольника = – .

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется прямое произведение двух множеств?

2. Что такое отношение на множестве М?

3. Какие можете привести примеры отношений на множестве?

4. Какое отношение называется отношением эквивалентности? Приведите примеры отношений, которые являются (не являются) отношением эквивалентности.

5. Какой отрезок называется направленным?

6. Какие направленные отрезки называются эквиполлентными? Какие отрезки будут не эквиполлентными?

7. Сформулируйте и докажите признак эквивалентности направленных отрезков.

8. Что такое вектор? Нуль-вектор? Приведите примеры векторных величин из физки. Является ли векторной величиной: 1) работа;

2) объем; 3) вес? Если да, то укажите направление этого вектора.

9. Сформулируйте и докажите лемму о равенстве векторов.

10. Сформулируйте и докажите утверждение об откладывании вектора от точки.

11. Как определяется сумма двух векторов? Покажите на чертеже.

12. Длины векторов и заданы. Как нужно направить эти векторы, чтобы длина их суммы была: а) наибольшей; б) наименьшей; в) равной длине вектора ?

13. Какими должны быть векторы, чтобы их сумма делила угол между ними пополам?

14. Докажите коммутативность сложения векторов.

15. Докажите ассоциативность сложения векторов.

16. В чем смысл “правила многоугольника”?

Пример 1. Показать, что если для любых трех векторов , и имеет место равенство , то из их представителей можно составить треугольник.

Решение. Равенство согласно правилу сложения векторов означает, что если начало вектора совместить с концом вектора , а начало вектора – с концом вектора , то конец вектора совместится с началом вектора , то есть ломанная, составленная из этих векторов замкнется, образуя треугольник (рис. 4).

Задание: Изобразите три вектора, из которых нельзя составить треугольник.

Пример 2. Пусть АВСD параллелограмм, и О – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны AD (рис. 5). Полагая и , выразить через и векторы , и .

Решение. По правилу многоугольника для сложения векторов имеем, например:

, , .

Из возможных способов выберем тот, при котором из точки А можно прийти в точку В, двигаясь только по известным векторам:

. Так как , то . Аналогично находим: .

.

Задачи

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Указать, какие из следующих пар направленных отрезков эквиполлентны:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

2. Доказать, что направленные отрезки AB и CD эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точки E и F – соответственно середины отрезков BC и AD. Построить следующие векторы:

а)

4. Доказать, что для произвольных векторов и справедливо равенство: а) – (– )= + ; б) .

5. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка O пространства. Доказать, что

6. Даны три точки A, B и C. Построить точку P такую, чтобы .

7. A, B, C и D – произвольные точки пространства, M и N – середины отрезков AD и BC. Доказать, что 2 . Какие можно вывести следствия из последнего утверждения?

8. Доказать, что для произвольных векторов и справедливы следующие соотношения: а) .

При каком условии в этих соотношениях имеет место знак равенства?

9. Что можно сказать о векторах, для которых выполнено соотношение: а) ║ (; б) ( + )║ ( – ); в) ?

10. Треугольники ABC и AB ₁ C ₁ имеют общую медиану AM. Доказать, что в этом случае

11. Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

1. В пространстве дана фигура, состоящая из конечного числа точек, симметричных относительно точки C. Доказать, что сумма всех векторов с общим началом и концами в точках данной фигуры равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда общим началом векторов является точка C.

2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE BC ║ AD, CD ║ BE, DE ║ AC, AE ║ BD. Доказать, что AB ║ CE.

3. Периметр пятиугольника равен единице. Строятся последовательно пятиугольники с вершинами в серединах сторон предыдущих пятиугольников. Доказать, что сумма периметров всех этих пятиугольников не больше 8.

Домашнее задание

1. Пусть A, B, C, D – произвольные точки пространства, а M, N, P, Q – соответственно середины отрезков AB, BC, CD, DA. Доказать, что направленные отрезки и эквиполлентны.

2. Точки M, H – середины ребер AA ₁ и BB ₁ параллелепипеда

ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ с центром O. Построить следующие векторы: , ,

3. Доказать, что если для четырех точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, и некоторой точки O пространства имеет место равенство то ABCD – параллелограмм.

4. Доказать, что для любых векторов справедливо соотношение

Тема 1.2. Умножение векторов на действительные числа

Литература: [1], гл. 2, §2, стр. 38–39; [2], гл. 3, §11, стр. 57–60; [3], гл. 2, §1, стр. 43–48; [7], гл. 4, §13–14, стр. 117–130.

Основные определения, теоремы и формулы

Произведением вектора на действительное (вещественное) число называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1) , где абсолютное значение числа ,

2) , если и , если < 0.

Теорема: Для произвольных чисел и векторов справедливы следующие равенства:

1) и ,

2) ,

3) ,

4) .

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях равно ?

2. Что можно сказать о векторах и , если известно, что уравнение : 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?

3. Векторы , и коллинеарны и < < . Верно ли, что вектор сонаправлен с суммой векторов , и ?

4. Пусть . Следует ли отсюда, что = ?

Пример 1. По данным векторам и построить векторы:

2) .

Решение. Пусть и - данные векторы (рис. 6):

1) Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы и . Тогда согласно определению суммы векторов вектор .