Завдання 8

Дослідити методами диференціального числення функції та побудyвати їх графіки.

Варіанти завдань для самостійного виконання

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

3.4 Неозначений інтеграл. Основні методи інтегрування.

Якщо задана деяка функція F(x), тоді її похідною є інша функція f(x), тобто

F′ (x)= f(x) (*)

Сформулюємо обернену задачу: як, знаючи функцію f(x), знайти таку іншу функцію F(x), щоб виконувалась рівність (*). Відповідь на таке питання можливо отримати шляхом знаходження так званої первісної для f(x), і цією функцією буде саме F(x). Математично цю дію записують як

Наприклад, . Перевіримо правильність знайденої первісної: , тобто рівність (*) в конкретному випадку справджується.

Всі можливі первісні для функції f(x ) відрізняються між собою на деяку константу С, С € R. Загальне сімейство всіх первісних вигляду F(x)+C для функції f(x) утворює відповідь неозначеного інтеграла для цієї ж функції f(x), тобто

(**)

Зауваження. Первісна F(x) для f(x) не завжди існує, а якщо існує, то ця первісна завжди єдина незалежно від способу її знаходження.

Наприклад, для f(x)= первісної не існує.

На основі рівності (**) складена таблиця неозначених інтегралів основних елементарних функцій.

1 ;

2 ;

3 ;

4 ;

5 ;

5* ;

6 ;

7 ;

8 ;

9 ;

9* ;

10 ;

11 .

Властивості неозначеного інтеграла:

а)

б)

в)

г) Якщо тоді для будь-якої U(x), . Приклад 1.

;

;

.

I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.

Якщо обчислюється , при цьому , тоді для спрощення при знаходженні відповіді такого інтеграла зручно ввести нову змінну t=U(x), тоді

В новій змінній t наш інтеграл приймевигляд .

Наприклад, .

ІІ. Метод інтегрування частинами.

Основна формула цього метода , U=U(x), V=V(x) Даний метод стандартно використовується, якщо під знаком інтеграла є добуток степеневої функції на тригонометричну чи показникову, присутність під інтегралом логарифмічної або будь-якої оберненої тригонометричної функції, добуток позикової функції на тригонометричну. Також цей метод доцільний в деяких окремих випадках. За функцію U(x) звичайно приймають степеневу функцію (при диференціюванні степінь х понижується), логарифмічну чи обернену тригонометричну (оскільки для цих функцій відносно легко знаходяться похідні згідно відповідної таблиці). В ряді випадків даний метод застосовують послідовно декілька разів.

Приклад2.

Корисним є обчислення інтеграла

Звідки .

Аналогічно .

Два останні інтеграли самі по собі є корисними, наприклад, в геометричних додатках означеного інтеграла. З іншого боку цими формулами можливо користуватись як уже готовими.

Наприклад,

.

ІІІ Метод інтегрування дробово-раціональних функцій.

Розглядається обчислення інтегралів вигляду , де , - многочлени відповідно зі степенем m і n змінної х. нагадаємо, що степінь многочлена встановлюється найбільшим показником степені х цього виразу. Якщо m< n, тоді дріб правильний, і його необхідно шляхом ділення многочлена чисельника на знаменник звести до суми многочлена результата ділення плюс уже правильний раціональний дріб. Згідно основної теореми алгебри многочлен завжди можливо записати у вигляді добутку лінійних на х множників типу , де k- кратність множника , на квадратні тричлени типу з від’ємним дискримінантом, тобто < 0. Згідно цього

, де

- деякі неозначені константи, для знаходження яких складають і розв’язують деяку алгебраїчну систему шляхом прирівнювання на основі рівності чисельників від коефіцієнтів при відповідно однакових степенях х. отримані після цього доданки інтегруються за допомогою інших методів інтегрування.