Приклад 6.

Знайти

Розв'язок. Поділимо чисельник і знаменник дробу на x. Будемо мати

Приклад 7.

Знайти

Розв'язок. Зробимо заміну y=2x i застосуємо границю (4), одержимо:

Приклад 8.

Знайти

Розв'язок. Maємо:

Завдання 6

0бчислити границі (не користуючись правилом Лопіталя)

Варіанти завдань для самостійного виконання

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

3.2 Похідна функції та її обчислення

Наведемо правила, що найчастіше використовуються при обчисленні похідних:

1) похідна вiд сталої: С' = 0;

2) похідна суми: (u + v)' = u' + v';

3) пoxiднa добутку:

(uv)'= u' • v + uv', зокрема (сu)' = cu';

4) похідна частки:

зокрема

5) похідна складної функцій:

де

6) похідна функції y= f(х), заданої параметрично системною х= x(t),

у = у(t), t є (α; β):

7) похідна степенево-показникової функції:

8) похідна неявно заданої функції F(х, у) = 0: похідна по x від обох частин рівності F(х, у) = 0, вважаючи y функцією від x, i одержане рівняння розв'язати відносно y'.

Основні формули диференціювання запишемо y вигляді наступної таблиці:

1. зокрема,

2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

Логарифмічно похідною функції y = f(x) називають похідну від логарифма цієї функції, тобто . Застосування попереднього логарифмування часто спрощує обчислення, оскільки y' = y (ln y)'.

Приклад 1.

Знайти похідну функції

Розв'язок. Логарифмуючи задану рівність, дістанемо

.Користуючись логарифмічною похідною, маємо

Звідки:

Приклад 2.

Знайти похідну степенево-показникової функції

Розв'язок. Згідно з правилом 7) при tgx > 0 зхаходимо: