Приклад 3.

Знайти похідну неявно заданої фyнкцiї y:

х^з + у^з = sin(x - 2у).

Розв'язок. Диференціюємо обидві частини рівняння i враховуємо, що y - є функція від х(тому, наприклад, (у^з )'_x = 3у²• y'), одержимо:

3х² +3y²y'=cos(x-2y)(1-2y') або 3х²+3y²y'=cos(х-2у)-2у'cos(х-2у)

Звідси знаходимо y':

Зу² •у'+2у' • cos(x-2y) = cos(x-2y) -3х²

у'(Зу²+2соs(х-2у) = cos(x-2y) -3х², тобто

Приклад 4.

Переконатися в тому, що функція y= е^3х + x² є розв'язком рівняння y' - Зу + 3х² - 2x = 0.

Розв'язок. Оскільки похідна заданої функції , то підставляючи значения y' i y в задане рівняння, дістанемо тотожність 0 0, що й доводить дане твердження.

Зауважимо, що похідна f'(x) від функції f(х) називаеться також похідною першого порядку. Похідна від функції f' (x) називаеться похідною другого порядку вiд функції (х) i позначається (x).

Аналогічно визначається похідна третього порядку, яка позначається .