Теорема Штейнера.

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось , параллельную заданной оси (рис. 61). Расстояние между осями равно . Выберем частицу тела массы , настояние от нее до осей и указаны на рисунке.

Момент инерции тела относительно по определению:

(262)

Из геометрических соображений:

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

(263)

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М - масса тела.

В последнем слагаемом:

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

что и требовалось доказать.

14.4. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.