Линейная алгебра. ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Вычисление определителей Определитель не равный нулю может иметь вид

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Вычисление определителей
Определитель не равный нулю может иметь вид …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линейные операции над матрицами
Даны матрицы и Если матрица где E – единичная матрица того же размера, что и матрицы A, B и C, то значение a равно …

Решение:
При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга, при транспонировании матрицы соответствующие столбцы матрицы меняются местами со строками с сохранением порядка элементов.
Тогда

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Умножение матриц
Матрица где и Тогда элемент равен …

			– 3

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы равен …

Решение:
Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях, поэтому столбцы и строки матрицы можно менять местами, складывать, вычитать, умножать на числа, отличные от 0, с целью приведения её к диагональному виду. Число ненулевых элементов главной диагонали будет равно рангу матрицы. В данном случае сначала удобнее обнулить элементы первого столбца под первым элементом первой строки и т.д.:

Только один диагональный элемент ненулевой, поэтому ранг матрицы

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Обратная матрица
Для матрицы обратная матрица равна …

Решение:
Обратная матрица имеет вид вычислим




Получается, что

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Системы линейных уравнений
Базисное решение системы может иметь вид …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определение линейного пространства
На линейном пространстве L задана операция …

			для любых
			для любых
			для любых
			для любых

Решение:
Множество L образует линейное пространство, если для любых двух его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число ; со свойствами:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Базис и размерность линейного пространства
Линейно зависимыми будут вектора …

Решение:
Если векторы линейно зависимы, то определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Составим и вычислим определители для каждой совокупности векторов:
1) Для векторов и получаем
следовательно, эти векторы линейно независимы;
2) Для векторов и получаем
следовательно, эти векторы линейно независимы;
3) Для векторов и получаем
следовательно, эти векторы линейно независимы;
4) Для векторов и получаем так как первая строка состоит из нулевых элементов; следовательно, эти векторы линейно зависимы.