Функциональный анализ

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линейные операции над векторами
Дан параллелограмм OABC. Векторы Тогда вектор имеет координаты …

			(10; 0; 6)
			(– 10; 0; – 6)
			(0; – 6; 10)
			(5; 0; 3)

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Даны векторы и угол между которыми равен Тогда проекция вектора на вектор равна …

			– 1

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Скалярное произведение векторов
Дан вектор где угол между векторами и равен Тогда модуль вектора будет равен …

Решение:
Так как то

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Векторное произведение векторов
Даны два вектора: и Тогда вектор , перпендикулярный и вектору и вектору можно представить в виде …

Решение:
Вектор , перпендикулярный и вектору , и вектору , можно найти как результат векторного произведения векторов и . Так как векторное произведение двух векторов и заданных своими координатами, находится по формуле:
то

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение векторов и равно 2. Тогда смешанное произведение векторов и равно …

			– 24
			– 12

Решение:
По свойствам смешанного произведения

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля равен вектору в точке …

			(– 3; 1; 1)
			(1; – 4; 2)
			(– 3; – 4; 2)

Решение:
Градиент поля находится по формуле: Он равен вектору тогда и только тогда, когда
Так как то получаем следующую систему линейных уравнений: решая которую находим единственное решение: То есть, градиент поля U равен вектору в точке

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Элементы теории множеств
Даны три множества: и Тогда число элементов множества равно …

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество Теперь выполним объединения в результате которого получится множество чисел Таким образом, множество D содержит пять элементов.

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Мера плоского множества
Плоская мера множества равна …

Решение:
Множество задает дугу кривой, ее плоская мера равна нулю.

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Отображение множеств
Пусть задано отображение Тогда имеет вид …

Решение:
По определению прообраза множества
Тогда

ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Метрические пространства
Функция где x₁, x₂ – действительные числа, …

			удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
			не удовлетворяет аксиоме тождества
			не удовлетворяет аксиоме симметрии
			не удовлетворяет аксиоме треугольника