Характеристики ценных бумаг

Ценная бумага характеризуется доходностью за рассматриваемый период, которая определяется следующим образом:

Когда в качестве ценных бумаг рассматривают акции, то промежуточными платежами будут дивиденды, в случае с облигациями – процентный доход. Они выплачиваются обычно в конце периода.

Поскольку стоимость ценной бумаги в конце периода не определена, то и доходность за период также не определена, поэтому значение доходности ценной бумаги считают случайной величиной, а конкретное значение доходности — реализацией этой случайной величины. Обозначим через случайную величину, доходность ценной бумаги - ого вида, а через — ее математическое ожидание, т.е. . Тогда дисперсия или вариация доходности -ой ценной бумаги будет по определению равна

,

а среднеквадратическое отклонение

.

Среднеквадратическое отклонение доходности -ой ценной бумаги от ее математического ожидания считают мерой риска ценной бумаги. Действительно, пусть . Тогда доходность ценной бумаги не отклоняется от ожидаемого значения. Нет неопределенности, нет и риска. Чем больше вариация, тем больше среднеквадратическое отклонение, тем больше доходность отклоняется от своего ожидаемого значения, тем выше неопределенность, тем выше риск.

Вывод. Ценные бумаги имеют две характеристики: математическое ожидание доходности и среднеквадратическое отклонение доходности от математического ожидания — мера риска.

Замечание. Доходность акций измеряется в процентах, вариации и ковариации доходностей акций в процентах в квадрате. Однако, в дальнейшем в некоторых примерах для избежания громоздкости при изложении материала единицы измерения будут опускаться.

Пример 5.2.1. Пусть ценные бумаги А и В имеют следующие характеристики:

.

Какую из них предпочтет инвестор?

Решение. Очевидно, что инвестор предпочтет ценную бумагу А, так как при одинаковой мере риска ожидаемая доходность у ценной бумаги А выше.

Если а , то инвестор отдаст предпочтение ценной бумаге В, так как при одинаковой ожидаемой доходности мера риска выше у ценной бумаги А.

В общем случае, когда и или и , однозначного решения нет. Все зависит от характера инвестора и от его склонности к риску.

Часто в качестве меры риска используют вариацию, в дальнейшем при изложении данного параграфа также в качестве меры риска будет использоваться вариация.

Введем понятие ковариации двух случайных величин.

Пусть и - случайные величины, выражающие доходности -ой и -ой ценных бумаг соответственно, и - их математические ожидания, тогда ковариацией этих двух случайных величин называется величина

Ковариация двух случайных величин отражает их зависимость: если , то увеличение одной случайной величины вызовет увеличение другой случайной величины, т.е. имеет место прямая зависимость величин; если , то увеличение одной случайной величины вызовет уменьшение другой случайной величины — имеет место обратная зависимость случайных величин, если , то случайные величины независимы.

Заметим, что .

Для оценки характеристик ценных бумаг используют статистические данные. Пусть - доходность i -ой ценной бумаги в периоде , где , - число наблюдаемых периодов. Тогда статистическая оценка математического ожидания доходности -ой ценной бумаги будет равна

. (5.2.1)

Статистическая оценка вариации доходности -ой ценной бумаги

, (5.2.2)

ковариации

. (5.2.3)

Пример 5.2.2. Пусть доходность ценных бумаг № 1, № 2, № 3 отслеживалась на протяжении 3-х кварталов. Данные представлены в таблице 5.2.1.

Таблица 5.2.1

Доходность Квартал	R1	R2	R3

Рассчитать оценки ожидаемых доходностей, вариаций и ковариаций.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами (5.2.1), (5.2.2), (5.2.3), подставляя в них данные из таблицы 5.2.1 и учитывая, что Т=3.

Рассчитаем оценки ожидаемых доходностей:

рассчитаем оценки вариаций:

;

рассчитаем оценки ковариаций:

Проанализируем получившиеся результаты. Ценная бумага № 3 имеет самые хорошие оценки характеристик по сравнению с ценными бумагами № 1 и № 2, так как она имеет наибольшую оценку ожидаемой доходности и наименьшую оценку риска . Ценные бумаги № 1 и № 2 обратно коррелированны, т.е. в то время, как доходность ценной бумаги № 1 растет – доходность ценной бумаги № 2 падает (). Ценные бумаги № 1 и № 3 также обратно коррелированы. В то же время между доходностями ценных бумаг № 2 и № 3 имеет место прямая корреляция ().