Модели анализа основных финансовых операций

В методах анализа финансовых данных широко используется анализ стоимости денег во времени. Это неизбежно затрагивает рассмотрение понятия «процент» и того, как изменения процентных ставок влияют на принятие соответствующих финансовых решений.

Простой и сложный процент. Рассмотрим ситуацию, когда исходная сумма денег помещается на сберегательный счет под фиксированный процент. При этом процент выплачивается непосредственно инвестору, а не прибавляется к исходной сумме вложения. Это пример варианта размещения денежных средств под простой процент.

Пусть P- основная сумма, положенная в банк под процент или первоначальный капитал, j – номинальная годовая процентная ставка, выраженная в долях, t – срок депозита (в годах). Простой процент вычисляется исключительно по первоначальному капиталу. Простой процент определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени:

, (5.1.1)

где I – простой процент (в денежном выражении).

Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой. Будем обозначать наращенную сумму буквой S. Итак,

. (5.1.2)

Наращенную сумму называют также будущей стоимостью первоначального капитала и часто обозначают FV (от первых букв английского термина future value).

В случае простого процента

. (5.1.3)

Основное различие между простым и сложным процентом описывается следующим образом. Процент называется простым, если он не прибавляется к исходной сумме в конце каждого периода. И наоборот, если процент прибавляется к исходной инвестиции, то фактически начальная сумма увеличивается, а процентный доход от такой новой суммы инвестиции также увеличивается в той же самой пропорции. Такой метод начисления процентов называется сложным процентом.

Пример 5.1.1. Пусть годовая банковская процентная ставка равна 15 %, и первоначальный капитал составляет 1000 денежных единиц. Срок депозита равен 2 годам. Требуется определить процент, наросший к концу второго года, считая, что процент капитализируется (т.е. прибавляется к начальному капиталу) один раз в год.

Решение. Итак, j = 0, 15, P = 1000 д.е., t = 2 года. Найдем вначале процент , нарастающий к концу первого года. Следовательно, наращенная сумма в конце первого года составит: . Процент , нарастающий за второй год, будет начисляться с суммы , т.е. д.е. Причем, , где 150 д.е. – это процент, нарастающий с первоначального капитала P = 1000 д.е., а 22, 5 д.е. – процент, нарастающий с процента , наросшего за первый год.

Сумма , нарастающая к концу второго года, равна Таким образом, процент нарастающий за два года, равен д.е.

В рамках примера 5.1.1 заметим, что

.

Следовательно, по данным примера 5.1.1 сумма , нарастающая к концу второго года, может быть также найдена по формуле:

д.е.

В общем виде наращенная сумма находится следующим образом:

(5.1.4)

Отметим, что в примере 5.1.1 процент прибавлялся к капиталу (т.е. капитализировался) в конце каждого года. Однако процент может капитализироваться чаще: раз в полгода, раз в квартал, раз в месяц, ежедневно и т.д. Время между двумя последовательными капитализациями (начислениями) процента называется периодом капитализации процента. (В примере период капитализации равен одному году.)

Эффективная процентная ставка и коэффициент наращения. Важную роль играет эффективная процентная ставка для периода капитализации. Обычно известна номинальная годовая процентная ставка и частота капитализации. Обозначим число капитализаций процента в течение года символом m.

Эффективная процентная ставка для периода капитализации показывает процент, нарастающий в течение одного периода капитализации.

Эффективная процентная ставка для периода капитализации определяется с помощью номинальной ставки по формуле:

(5.1.5)

В общем случае, когда срок депозита t состоит из n периодов капитализации, несложно показать, что наращенная сумма находится по формуле:

(5.1.6)

или в общем виде

(5.1.7)

Сумма, наращенная на одну денежную единицу первоначального капитала, называется коэффициентом наращения и обозначается a.

Из формулы (5.1.7) следует, что в случае сложного процента коэффициент наращения a находится по формуле:

. (5.1.8)

Понятие дисконтирования. Достаточно часто на практике приходится решать обратную задачу, то есть требуется по заданной заранее наращенной сумме определить, какую сумму необходимо инвестировать в начальный момент времени, чтобы через определенный временной промежуток при постоянной ставке процента (простого или сложного) получить требуемую величину. Данный процесс называется дисконтированием, а искомая величина – текущей стоимостью.

Текущая стоимость – это первоначальный капитал, обеспечивающий заданную наращенную сумму. Из формулы (5.1.6) следует, что при сложном проценте текущая стоимость находится следующим образом:

(5.1.9)

или (5.1.10)

Пример 5.1.2. Годовая номинальная процентная ставка равна 12%, период капитализации процента – полугодие, срок депозита – два с половиной года. Найти текущую стоимость наращенной суммы, равной 800 д.е.

Решение. Итак, , (процент капитализируется 2 раза в год), года, д.е. Вначале найдем эффективную процентную ставку для периода капитализации по формуле (5.1.5): . Затем найдем количество периодов капитализации процента: . Теперь мы можем найти текущую стоимость суммы д.е. по формуле (5.1.9): д.е.

Начисление процентов для нецелого числа периодов капитализации. В случае, когда срок депозита состоит из нецелого числа периодов капитализаций процента, используются два метода начисления процента: смешанный (комбинированный) и общий.

В соответствии с общим методом, наращенная сумма непосредственно рассчитывается по формуле:

. (5.1.11)

В соответствии со смешанным методом, вначале по формуле сложного процента находится наращенная сумма для целого числа периодов капитализации в сроке депозита.

(Здесь через обозначен срок депозита, выраженный в периодах капитализации ). Затем, для оставшейся дробной части срока депозита начисляется простой процент с капитала (наросшего за целое число периодов капитализации ). Таким образом, к концу срока депозита наращенная сумма составит:

. (5.1.12)

Учитывая, что , формулу (16) можно также записать в виде:

. (5.1.13)

Пример 5.1.3. Номинальная годовая процентная ставка равна 16%. Период капитализации процента – квартал. Начальный капитал – 600 д.е. Срок депозита – 1 год и 5 месяцев. Требуется найти наращенную сумму смешанным методом.

Решение. Итак, , , д.е., года. Вначале найдем эффективную процентную ставку для периода капитализации: . Затем выразим срок депозита в периодах капитализации: кварталов.

Найдем сумму, нарастающую за целое число периодов капитализации по формуле в случае сложного процента: д.е.

Затем, для оставшейся дробной части срока депозита начисляется простой процент с капитала д.е. Поскольку квартала– это года (т.е. 1 месяц), к концу срока депозита наращенная сумма составит:

д.е.

Если в данном примере при расчетах воспользоваться общим методом, наращенная сумма в конце срока (т.е. через 1 год и 5 месяцев) составит

д.е.

Учет инфляции. Рассмотрим, как влияет инфляция на процентную ставку.

Уровень инфляции за некоторый период времени определяется следующим образом. Пусть потребительская корзина состоит из m видов благ (т.е. товаров и услуг). Обозначим через количество единиц k -го блага в потребительской корзине, через – рыночную цену единицы k -го блага в начале периода времени и через – рыночную цену единицы k -го блага в конце периода. Очевидно, что цены и потребительской корзины в начале и в конце периода времени равны, соответственно:

и (5.1.14)

. (5.1.15)

Уровень инфляции i за период времени определяется по формуле:

. (5.1.16)

Пусть r – банковская процентная ставка за период времени. Тогда сумма , наращенная за период времени при начальном капитале , равна:

. (5.1.17)

В дальнейшем процентную ставку r будем называть номинальной.

Очевидно, что в начале периода за начальный капитал можно купить потребительских корзин. В конце периода за наращенную сумму можно купить потребительских корзин. Реальная процентная ставка определяется по формуле:

(5.1.18)

и показывает, на сколько процентов больше потребительских корзин можно купить в конце периода за наращенную сумму, чем в начале периода за начальный капитал.

Реальная процентная ставка учитывает инфляцию в отличие от номинальной процентной ставки.

Найдем взаимосвязь между реальной процентной ставкой, номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции. Из приведенных выше формул следует, что

. (5.1.19)

Итак, реальная процентная ставка определяется с помощью номинальной процентной ставки и уровня инфляции по формуле:

. (5.1.20)

Пример 5.1.4. Пусть годовая номинальная процентная ставка равна 36%, а годовой уровень инфляции составляет 20 %. Найти реальную процентную ставку.

Решение.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что такое простой процент?

2. Что такое сложный процент?

3. Как рассчитывается наращенная стоимость при простом и сложном проценте?

4. Что такое период капитализации?

5. Дайте определение коэффициента наращения.

6. Какая процентная ставка называется эффективной?

7. Что такое текущая величина PV?

8. Какой процесс называется дисконтированием?

9. Объясните суть смешанного метода начисления процентов.

10. Как определяется уровень инфляции?

11. Как связаны между собой реальная и номинальная процентные ставки?

ТЕСТЫ

1. Если процент прибавляется к начальной сумме в конце каждого периода, то он называется:

а) простым;

б) сложным.

2.Эффективная процентная ставка для периода капитализации показывает процент, нарастающий:

а) в течение одного периода капитализации;

б) в течение года;

в) к концу года.

3.Коэффициент наращения a показывает:

а) наращенную сумму;

б) наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу первоначального капитала;

в) наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу наращенного капитала.

4.Дисконтированием называется:

а) процесс нахождения суммы, которую необходимо инвестировать в начальный момент времени, чтобы через определенный временной промежуток при постоянной ставке получить требуемую величину;

б) процесс нахождения суммы, которую инвестор получит, вложив заданную величину, через определенный промежуток времени при постоянной процентной ставке;

г) процесс нахождения суммы начального и наращенного капитала инвестора через определенный промежуток времени при постоянной процентной ставке.

5.Показатель инфляции можно выразить через реальную и номинальную процентные ставки следующим образом:

а) ;

б) ;

в) .