Властивості границь

Теорема. Нехай функції f (x) і g (x) мають границі в точці х₀:

f(x)=А g(x)=B

Тоді функції f (x) g (x), f (x) ·g (x), (при В 0) також мають границі в точці x₀, причому:

1) [ f(x)±g(x) ] =А±B;

2) [ f(x)·g(x) ] =А·B;

3) .

Доведення. Нехай { x_n }Ì X, x_n = x₀ (x Î N) – довільна послідовність, збіжна до x₀. За визначенням 1, збіжними є послідовності { f (x_n)}, { g (x_n)}, причому їхні границі – відповідно А і В. Але тоді за теоремою 2 (глава 5, §2) послідовності { f(x)±g(x) }, { f(x)·g(x) }, (при В 0) мають границі, що дорівнюють відповідно А±B, А·B, . Згідно з визначенням 1

[ f(x)±g(x) ] =А±B; [ f(x)·g(x) ] =А·B; .

Наслідок 1. Для довільного числа С

[ С f (x)]=C f (x).

Наслідок 1. Для довільного m Î N

[ f (x)]^m=[ f (x)]^m

Отже, якщо говорити про границю функції від довільної змінної, то, оскільки, для змінних залежних від номера (показника) п теореми доведені, вони вірні і для функції в загальному випадку. Зауважимо, що приведені властивості повністю зберігаються у випадку односторонніх границь і границь функції на нескінченності.