Задача про неперервне нарахування процентів

На яку величину зросте капітал K₀, через n років при р% річних, якщо нарахування процентів здійснюють декурсивним методом – процентний платіж нараховується і додається до капіталу в кінці кожного розрахункового періоду. Декурсивне нарахування проценту найбільш поширене в світовій практиці.

Очевидно, що при р% річних розмір вкладу щорічно буде збільшуватися в раз, тобто в кінці n -го року маємо

Отже, капітал K₀ при річному нарахуванні складних процентів згідно ставки р% через n років зросте до величини K_n.

де:

- процентна ставка, виражена в десяткових дробах.

- складний декурсивний коефіцієнт.

Якщо нараховують проценти не один раз на рік, а m раз, при тому ж щорічному прирості р%, процент нарахування за частину року складе , а розмір вкладу за n років при mn нарахуваннях складе

(1)

Припустимо, що проценти нараховуються кожні півроку , кожний квартал , щомісячно , кожний день , кожний час і т.д. неперервно .

Якщо число розрахункових періодів прямує до нескінченності, то можна стверджувати, що період розрахунку прямує до нуля.

Знайдемо границю величини К_mn при (n – число років, m – число розрахункових періодів в році).

(2)

Отже, ми вивели формулу для кінцевої величини капіталу при неперервному нарахуванні складних процентів. Вона є неперервною функцією і дозволяє обчислити величину капіталу в будь-якій період часу.

Наведемо таблицю розмірів вкладів К_mn (якщо К₀=1 грошова одиниця, р=5%, n=20 років) згідно формули складних процентів (1) і формули неперервного нарахування процентів

Різниця між щорічним нарахуванням (m=1) і неперервним нарахуванням формула (2) незначна (біля 2, 5%).

Зауваження. В практичних фінансово-кредитних операціях неперервне перерахування процентів застосовується рідко. Воно є досить ефективним при аналізі складних фінансових проблем, наприклад, при обгрунтуванні і виборі інвестиційних рішень.