Друга важлива границя

У вищій математиці зустрічається введене ще в XVIIст. число, яке позначається буквою “ е ”. Число це можна визначити як границю функції f (x)= при прямуванні х до нуля:

е = (1)

Вважається, що , оскільки функція не визначена при цих аргументах, факт існування цієї границі приймемо без доведення.

Якщо в рівності припустити , а потім повернутися до попереднього позначення незалежної змінної, то одержимо

е = (2)

Якщо функція розглядається тільки на множині натуральних чисел, то із (2) випливає, що

е = (3)

Стале число “ е ” ірраціональне і приблизно дорівнює 2, 71828…

Число “ е ”, прийняте за основу системи логарифмів, прийнято називати натуральними. Натуральний логарифм х позначається символом ln x. Встановимо зв’язок між натуральними і десятковими логарифмами. Для цього, логарифмуючи по основі “ е ” тотожність x=a , одержимо рівність ln x = ln а ·log _a x. При х = е, ця рівність дає

log _a е = . (4)

При а =10 та ж рівність дає ln x = ln10·lg x і lg x = М ln x, де

М = (5)

Формула (5) зв’язує натуральні і десяткові логарифми і показує, що ці логарифми прямо пропорційні один одному. Число М називається модулем переходу від натуральних логарифмів до десяткових.

М = lg е 0, 43429, .

Наприклад: ln2= lg2=2, 30258·0, 30103 0, 69315.

До числа е приводять розв’язки багатьох прикладних задач. Приведемо одну із них, яка зустрічається в економіці.