Перша важлива границя

Доведемо, що .

Зазначимо спочатку, що функція визначена при всіх х 0.

Припустимо, що х Î . Доведемо, що при таких х виконані нерівності sin x< x< tg x.

Розглянемо коло одиничного радіуса з центром в точці 0 (рис.41) і побудуємо рівні кути АОВ і ВОС з радіанною мірою х. Нехай ЕА і ЕС – дотичні до цього кола. Очевидно, що хорда АС, яка стягує дугу кола АС, менша цієї дуги, котра в свою чергу менша довжини ламаної ЕА + ЕС. Але ж АС =2 sin x, ЕА + ЕС =2tg x, а довжина дуги AC=2x, тобто sin x< x< tg x.

Беручи до уваги, що при х Î sin x> 0 і tg x> 0, маємо

1< <

або

cos x <

звідки

0< 1- -cos x

Оскільки 1-cos x =2sin² (тут використано, що sin ), то при х Î

0< 1- < .

Зазначимо, що обидві частини цієї нерівності не змінюються, якщо замінити х на – х. Тому вона виконується не тільки при х Î , а і при х Î , тобто при всіх х Î , x ¹ 0.

За наслідком 2 до теореми 1 і 2 (§2) можна зробити висновок, що =0, тобто .