Теорема умножения 1.

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

(2.1)

если в качестве первого события взять A,

если в качестве первого события взять B.

P_A (B), P_B (A) - условные вероятности событий A и B соответственно.

Условной вероятностью P_A (B) называется вероятность события B, вычисленая в предположении, что событие A уже наступило.

Пример. Студент знает 20 билетов из 30. Он тянет билет шестым. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен (состояние B), если первых 5 человек вытащили 5 известных ему билетов (событие A).

Решение.

Из формулы (2.1) можно получить формулу для вычисления условной вероятности

(2.2)

Формула (2.2) может быть использована при условии P(A) ≠ 0.

Пример. Проверить формулу (2.2) для предыдущего примера.

P(A) находим по (1.7) при определяем по (1.7) при N = 30, M = 20, n = 5, m = 5.

P(A*B) определяем по (1.7) при N = 30, M = 20, n = 6, m = 6.

Два события A и B называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого, т.е. условная вероятность события A равна его безусловной вероятности или, что равносильно

P_B(A) = P(A), P_A(B) = P(B) (2.4)

Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A.

Два события A и B являются зависимыми, если

P_B(A) ≠ P(A) или P_A(B) ≠ P(B) (2.5)

Если событие A зависит от события B, то и событие B зависит от события A.

Пример. Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события

A - появление туза;

B - появление карты красной масти;

C - появление бубнового туза;

D - появление десятки.

Зависимы или независимы пары событий A и B, A и C, C и D?

Решение.

Для пары A и B справедливо условие (2.4),

значит A и B - независимые.

P(A) = 4/52 = 1/13

P_B(A) = 2/26 = 1/13

P(A) = P_B(A)

P(B) = 26/52 = ½

P_A(B) = 2/4 = ½

P(B) = P_A(B)

Для пары A и C справедливо (2.5).

События A и C несовместны и зависимы.

P(A) = 4/52 = 1/13

P_C(A) = 1

P(A) ≠ P_C(A)

P(C) = 1/52

P_A(C) = ¼

P(C) ≠ P_A(C)

Для пары C и D, без проверки условий (2.4), (2.5) можно сказать, что события зависимы, т.к. они несовместны. Для несовместных событий (по определению) появление одного исключает появление другого, т.е. обращает в нуль его вероятность.

Несколько событий A₁, A₂, …A_n называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Несколько событий A₁, A₂, …A_n называются независимыми в совокупности, если каждые 2 из них независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие из теоремы умножения 1.

Для независимых событий A и B (2.1) имеет вид P(A*B) = P(A)*P(B) (2.6)

Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара (события A₁ и A₂). Найти вероятность того, что оба шара белые (A).

Решение.

A = A₁*A₂

По (2.1)

Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.

Решение.

По (2.6)

Теорема умножения 2.

Вероятность произведения нескольких событий A₁, A₂, …A_n равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже появились

(2.7)