Теорема о вероятности появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из событий A₁, A₂, …, A_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .

(2.18)

Если события A₁, A₂, …, A_n имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = 1 – qⁿ (2.19)

Пример. Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается независимо от других с вероятностью p. Для надежности сообщение дублируется (повторяется) k раз. Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке и количество раз передачи сообщений, чтобы вероятность хотя бы одного неискаженного сообщения стала не меньше P.

Решение.

Вероятность того, что символ не будет искажен (1-p);

вероятность того, что одно сообщение не будет искажено (1-p)ⁿ, будет искажено 1-(1-p)ⁿ (по (2.19);

вероятность того, что все k сообщения будут искажены (1-(1-p)ⁿ)^k;

вероятность того, что хотя бы одно из k сообщений не будет искажено по (2.19)

Для определения значения k решим неравенство