Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A

(2.20)

События H₁, H₂, …, H_n называются гипотезами.

Пример 1. Имеются две корзины: в первой a белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных. Из первой корзины во вторую перекладывают не глядя один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение.

Событие A - появление белого шара из второй корзины

Гипотезы H₁ - переложен из первой корзины во вторую белый шар,

H₂ - переложен черный шар.

Пример 2. Имеются три одинаковые корзины. В первой a белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из корзин и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Событие A - появление белого шара

Гипотезы H₁ - выбор первой урны,

H₂ - выбор второй урны,

H₃ - выбор третьей урны.

Формула Бейеса (теорема гипотез)

Если до опыта вероятности гипотез H₁, H₂, …, H_n были равны соответственно P(H₁), P(H₂), …, P(H_n), а в результате опыта произошло событие A, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле

Вероятности P(H _i) называются априорными (доопытными), (2.21)

Вероятности P_A(H _i) - апостериорными (послеопытными).

Формула Бейеса (2.21) дает возможность «пересмотреть» возможности (переоценить вероятности) гипотез с учетом результата испытания.

Пример. По каналу связи, на который могут действовать помехи, передается одна из двух кодовых комбинаций 111 или 000 с вероятностями 0, 8 и 0, 2 соответственно. Через помехи вероятность верного получения каждого из символов комбинации равна 0, 6. Считается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. Определить, какая кодовая комбинация была отправлена, если получена – 000.

Решение.

Гипотезы H₁ - отправлена комбинация 111

H₂ - 000

P(H₁) = 0, 8, P(H₂) = 0, 2

По (2.20)

По (2.21)

Сравнив P_A(H₁) и P_A(H₂) делаем вывод, что при полученной комбинации 000 вероятнее была отправлена комбинация 111.