Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость определяется одним из следующих уравнений:

1) – общее уравнение плоскости, для которой вектор (А; В; С) является вектором нормали (т.е. перпендикулярен этой плоскости);

2) – уравнение плоскости, проходящей через точку М_о(x_o, y_o, z_o), с вектором нормали (А; В; С);

3) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂), и М₃(x₃, y₃, z₃).

Угол между двумя плоскостями: a₁: и a₂: , – определяется как угол между их векторами нормалей (А₁; В₁; С₁) и (А₂; В₂; С₂), а именно:

, так что

. (6.1)

Условие параллельности двух плоскостей:

. (6.2)

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

. (6.3)

Расстояние от точки М_о(x_o, y_o, z_o) до плоскости определяется по формуле:

. (6.4)

Прямая в пространстве определяется следующими уравнениями:

4) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку М_о(x_o, y_o, z_o) с заданным направляющим вектором . (в таком виде уравнения прямой называются каноническими);

5) если каждое из равных отношений в канонических уравнениях обозначить через t и выразить через t текущие координаты x, y и z, то получим параметрические уравнения прямой в пространстве:

;

6) – уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂);

7) – уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей.

Чтобы перейти от такого задания прямой к её каноническим уравнениям, надо найти точку, принадлежащую этой прямой и направляющий вектор. Найти координаты точки – значит найти какое-либо (из бесконечного множества) решение системы уравнений; для этого достаточно задать произвольно числовое значение одной из трёх переменных (например, положить z = 0), и решив получившуюся при этом систему двух уравнений с двумя неизвестными, найти две остальные координаты точки. Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярный к векторам нормалей этих плоскостей, можно получить как векторное произведение векторов нормалей (А₁; В₁; С₁) и
(А₂; В₂; С₂), т.е. .

Пусть заданы две прямые в пространстве:

: и :

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами (m₁; n₁; p₁) и (m₂; n₂; p₂), т.е.

, так что

. (6.5)

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

. (6.6)

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

(6.7)

При решении задач полезно знать условие пере­сечения двух прямых в про­странстве. Если прямые и пересекаются (рис. 26), то будут компланарными векторы

(m₁; n₁; p₁), (m₂; n₂; p₂) и ,

а значит, их смешанное произведение равно нулю, следовательно условие пере­сечения двух прямых в про­странстве имеет вид:

(6.8)

Пусть задана плоскость a: с вектором нормали (А; В; С) и прямя :

с направляющим вектором (рис. 27).

Углом j между прямой и плоскостью называют угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Угол между направляющим вектором и вектором нормали плоскости дополняет угол j до 90°, т.е. , поэтому , а значит

(6.9)

формула угла между прямой в пространстве и плоскостью.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости (рис. 28): , а значит

(6.10)

Условие параллельности прямой и плоскости (рис. 29): , следовательно

(6.11)

Наконец, надо знать правило, по которому находится точка пересечения прямой с плоскостью (если они не параллельны). Чтобы найти точку пересечения, надо:

1) уравнение прямой записать в параметрическом виде:

; ; ;

2) выражения x, y и z подставить в уравнение плоскости, при этом получается уравнение, содержащее одно неизвестное t:

;

3) решив это уравнение, находим значение параметра t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости;

4) подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой, получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Задача 1. Даны две точки: Р(3; -1; 2) и Q(2; 2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно вектору .

Решение

Вектор (-1; 3; -3), перпендикулярный плоскости, является для неё вектором нормали, следовательно, для составления её уравнения имеем вектор нормали и точку Р(3; -1; 2), через которую эта плоскость проходит. Используя уравнение (2), получаем:

Þ .

Окончательно: .

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р(1; 1; -2), Q(2; 3; 4) и R(-2; 4; 1).

Решение

Плоскость задана тремя точками, поэтому используем уравнение (3):

Þ .

Разлагая определитель по элементам первой строки, имеем:

.

После преобразований получаем:

.

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р(3; -1; -2), Q(2; 0; 1) и перпендикулярной плоскости .

Решение

Плоскость должна проходить через точку Р(3; -1; -2). Подставляя её координаты в уравнение (2), для искомой плоскости получаем:

,

где коэффициента А, В, С подлежат определению.

Поскольку точка Q должна лежать в искомой плоскости, её координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставляя в уравнение плоскости вместо текущих координат координаты точки Q(2; 0; 1), получаем:

Þ .

Поскольку искомая плоскость перпендикулярна плоскости , коэффициенты при текущих координатах их уравнений должны удовлетворять условию (6.3) (скалярное произведение векторов нормалей равно нулю):

Þ .

Для определения коэффициентов А, В и С получили систему уравнений:

решая которую, находим:

; ; .

Поскольку вектором нормали может быть любой вектор, перпендикулярный плоскости, задаём параметру t любое числовое значение, например t = –1, в результате получаем: А = 5; В = 1; С = 4. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение искомой плоскости, окончательно имеем:

Þ .

Задача 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Р(3; -2; -1) и Q(2; 1; 4).

Решение

Прямая задана двумя точками, поэтому используем уравнение (6):

Þ

канонические уравнения искомой прямой. Чтобы перейти к параметрическим уравнениям, приравняем эти отношения параметру t:

,

откуда находим:

;

;

,

так что параметрические уравнения прямой имеют вид:

Задача 5. Составить канонические уравнения прямой, заданной как пересечение плоскостей:

Решение

Ищем точку, принадлежащую прямой, т.е. какое-либо решение системы уравнений. Для этого положим z = 0:

Решая эту систему, получим: x = 2; y = 1, так что, точка Р, принадлежащая прямой, имеет координаты Р(2; 1; 0).

Направляющий вектор искомой прямой найдём как векторное произведение векторов нормалей заданных плоскостей: (1; -1; 3) и (2; 1; -2):

, иначе = (-1; 8; 3).

Подставляя координаты точки Р и направляющего вектора в уравнение (4), получаем:

– каноническое уравнение искомой прямой.

Задача 6. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение

Записываем уравнения прямой в параметрическом виде: ; ; .

Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:

Þ Þ
Þ Þ t = –2.

Подставляя найденное значение t = –2 в параметрические уравнения прямой, получаем:

x = –3; y = 0; z = 7, т.е. Р(-3; 0; 7) – точка пересечения прямой и плоскости.

Задача 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

: и : .

Решение

Чтобы воспользоваться уравнением плоскости , надо найти для этой плоскости вектор нормали (А; В; С) и точку (x_o; y_o; z_o), через которую она проходит (рис. 30).

Прямая проходит через точку Р(1; 0; -3) и имеет направ­ляющий вектор (2; -1; 1). Эта прямая целиком лежит в иско­мой плоскости a, следовательно плоскость a проходит через точку Р, а вектор нормали перпендикулярен . Это позволяет записать уравнение плоскости в виде:

и при этом

(условие того, что ).

Прямая проходит через точку Q(-3; 1; -2) и имеет тот же, что и , направляющий вектор. Чтобы она тоже лежала в плоскости a, достаточно потребовать, чтобы координаты точки Q удовлетворяли уравнению плоскости:

Þ .

Для определения А, В и С получили систему уравнений:

решая которую находим:

; ; .

Положив , получаем: А = 1; В = 2; С = 2.

Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение плоскости, имеем:

Þ

Þ – уравнение искомой плоскости.