Задачи для решения

3.1. Упростить выражение, задающее вектор , найти модуль вектора , если:

а) ; = ; = 2; ;

б) ; = ; = 2; ;

в) ; = 1; = ; ;

г) ; = 2; = ; ;

д) ; = 2; = 2; .

3.2. Дан треугольник АВС. Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной на сторону АС, если:

а) А(0; -1; -2), В(-4; 3; 0), С(2; 3; -6);

б) А(1; -1; -1), В(3; 3; 3), С(-3; 3; -3);

в) А(-2; 0; -1), В(-1; 2; -3), С(0; 1; 1);

г) А(1; 0; -2), В(5; 2; 2), С(-1; -4; 2);

д) А(1; 0; -2), В(5; 3; -4), С(5; -3; 2).

3.3. Сила приложена к точке А. Определить момент этой силы относительно точки N, если:

а) (3; 4; -2), А(2; -1; 2), N(0; 0; 0);

б) (1; -2; 4), А(1; 2; 3), N(3; 2; 1);

в) (1; -2; 5), А(2; -1; 3), N(-1; 3; 2);

г) (2; -4; 5), А(4; -2; 3), N(3; 2; -1);

д) (2; 2; 9), А(4; 2; -3), N(2; 4; 0).

3.4. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

3.5. Найти единичный вектор, параллельный вектору , где , .

3.6. Найти длину и направление вектора , если (2; -1; 1), .

3.7. Найти , если (1; 1; -2), , (1; -2; 1).

3.8. В параллелограмме ABCD даны и = (2; 1; -2). Найти длину и направляющие косинусы вектора .

3.9. Найти , если (-8; 2; 3), (1; 1; -5), .

3.10. Найти , если ; = (0; 1; 2).

3.11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если (3; 3; -1), (1; 0; -1), .

3.12. Векторы (3; -1; 3) и (-2; 3; 1) являются сторонам параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.

3.13. Найти площадь параллелограмма ABCD, если его тремя последовательными вершинами являются точки А(3; 2; -2), В(0; 1; -3),
С(2; -2; 1).

3.14. Найти высоту параллелограмма, построенного на векторах (2; 1; -3) и , опущенную на вектор .

3.15. Проверить, что векторы (6; -2; -9) и (-7; 6; -6) могут быть приняты за рёбра куба. Найти третье ребро куба.

3.16. Даны три силы: (1; -4; 2), (3; 1; 0) и (-2; 3; 1), приложенные к точке С(2; 1; 1). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат.

3.17. На оси Oy найти точку, относительно которой момент силы
(2; 2; 2), приложенной к точке В(1; 1; 1) по величине равен 8 ед.

3.18. Найти точку, относительно которой момент силы (1; -2; 3), приложенной к точке В(3; 2; 1), есть вектор .

3.19. Даны 3 вершины параллелограмма: А(3; -2; 4), В(4; 0; 3), С(7; 1; 5). Найти длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АD.

3.20. На двух векторах: и , как на диагоналях построен параллелограмм. Найти его стороны и площадь.

3.21. Дан треугольник с вершинами:

а) А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6);

б) А(3; 2; -3), В(5; 1; -1), С(1; -2; 1);

в) А(4; 2; 5), В(0; 7; 1), С(0; 2; 7);

г) А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1);

д) А(3; -1; 2), В(3; 0; 3), С(-2; 1; 1).

Найти:

а) внутренний угол В, , длину высоты, опущенной на АВ;

б) внутренний угол А, , длину высоты, опущенной на АС;

в) внутренний угол при вершине С, площадь треугольника и длину его высоты АD;

г) , внешний угол при вершине В, длину высоты СМ.

3.22. Даны вершины 4-угольника: А(5; 2; -1), В(1; -3; 4), С(-2; 1; 3),
D(2; 6; -2). Доказать, что 4-угольник есть параллелограмм, найти его площадь, длины диагоналей, острый угол между диагоналями.

3.23. Определить момент силы величиной 5 ед, направленной по одному из рёбер куба, относительно его вершин.

3.24. Вектор перпендикулярен векторам (4; -2; -3) и (0; 1; 3) и образует с осью Oy острый угол. Найти координаты вектора , если = 26.

3.25. Даны разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: ; и . Найти длину медианы АМ и высоты АD треугольника АВС.

3.26. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(5; 2; 7),
В(6; 1; 9), С(5; 2; 8). Найти высоту этого параллелограмма, опущенную на сторону .

3.27. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и к вектору (8; -15; 3), образует острый угол с осью Ox. Найти координаты вектора , если = 51.

3.28. При каких значениях " " площадь треугольника, построенного на векторах ( -1; 1; -1), (0; -1; 1), не меньше ?

3.29. Даны точки: А(-1; 4; 3); В(-1; 20; 13); С(-1; 10; 7). Найти , где Е – середина АВ.

3.30. Дано: = (4; -1; -1); ; (1; 2m; 5). Найти значение " m", при котором .

3.31. При каком значении a векторы и окажутся коллинеарными, если и – неколлинеарные векторы.

3.32. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где = 2; = 3; .

3.33. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , если = 1; = ; .

3.34. Векторы и образуют угол . Зная, что = 3; = , вычислить .

3.35. Зная две стороны треугольника и , вычислить длину его высоты CD при условии, что = 1; ;

3.36. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , если = 1; = ; .

3.37. Дано: ; , где = 1; = ; . Найти (рис. 20).

3.38. Векторы и являются сторонами параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях, если = 1; = ; .