Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами

Если векторы и заданы координатами: = (X_a; Y_a; Z_a) и
(X_b; Y_b; Z_b), то их скалярное произведение вычисляется по правилу:

= X_a× X_b + Y_a× Y_b + Z_a× Z_b.

При этом формулы (3), (4) приобретают вид:

; (3')

, (4')

а необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и () имеет вид:

(5)

Задача 1. Даны вершины 4-угольника ABCD: А(1; 3; -2), В(2a; 0; -1), С(5; a; 1), D(3; -3; 5a). При каком значении " a" диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны?

Решение

= (4; a-3; 3), = (3-2a; -3; 5a+1).

Чтобы диагонали АС и BD были перпендикулярны, потребуем, чтобы × = 0:

.

Ответ: .

Задача 1. Даны вершины DАВС: А(2; 1; 4), В(-1; 2; 2), С(5; 1; 1). Определить его внешний угол при вершине А. (рис. 16).

Решение

Внешний угол DAC можно определить как угол между векторами и :

. (*)

= (3; -1; 2), = (3; 0; -3) (подставляем в (*)) .

Ответ: .

Задача 3. Даны 3 вектора: (2; 2; 1), (-1; 1; -2) и . Вычислить .

Решение

Обозначим + 2 = ; 2 – = . Тогда

. (*)

Используя свойства координат векторов, находим координаты векторов и : (0; 4; -3), (1; 1; 2). Подставляя в (*), находим:

.

Задача 4. Даны 3 силы: (3; -4; 2), (2; 3; -5) и (-3; -2; 4), приложенные к одной точке. Вычислить работу, которую производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М₁(5; 3; -7) в положение М₂(4; -1; -4).

Решение

Обозначим равнодействующую данных сил через = + + , тогда работа

. (*)

Находим координаты векторов: (2; -3; 1); (-1; -4; 3).

По формуле (*) получаем:

.

Задача 5. Найти скалярное произведение векторов и , если = 1; = 2; .

Решение

. По свойству (1) скалярного произведения , поэтому . По свойству (5): ; , так что .

Задача 6. Найти длину вектора , если ; ; .

Решение

По свойству (5) скалярного произведения , откуда следует: . Найдём : .

Следовательно .