Задачи для решения. 1.1. Что можно утверждать о ненулевых векторах и , если: а) ; б) ; в) ; г) .

1.1. Что можно утверждать о ненулевых векторах и , если: а) ; б) ; в) ; г) .

1.2. Точки К и L являются серединами сторон DC и CD параллелограмма АВСD. Полагая = , = , выразить через и векторы и .

1.3. Дано: ABCD – параллелограмм; K, E, F, H – середины сторон , AD, BC, AB. Полагая = , = , выразить через и векторы , , (О – центр параллелограмма), , , .

1.4. В ромбе ABCD диагонали = , = . Разложить по этим двум векторам векторы, совпадающие со сторонами ромба.

1.5. В треугольнике АВС векторы = , = и медиана = . Разложить вектор по направлениям и , разложить вектор по направлениям и .

1.6. На трёх некомпланарных векторах = , = , = построен параллелепипед ABCDA'B'C'D'. Выразить через , , векторы, совпадающие с рёбрами, диагональю параллелепипеда и диагоналями граней этого параллелепипеда, для которых вершина A' служит началом.

1.7. Дан тетраэдр ОАВС. Полагая = , = , = , выразить через , и векторы , и , где M, P, R – середины рёбер , , , а N, Q и S – середины соответственно противоположных рёбер.

1.8. В правильном 6-угольнике ABCDEF = , = . Выразить через и векторы , , , и .

1.9. В равнобедренной трапеции ABCD Ð ВАD = ; = , = . Найти ортогональные проекции векторов , , и на ось , имеющую направление .

1.10. Векторы и взаимно перпендикулярны, причём = 5; = 12. Найти и .

1.11. В равнобедренной трапеции ABCD (АВ = СD) Ð ВАD = ; = , = . Найти и .

1.12. Три силы , , приложены к одной точке и взаимно перпендикулярны. Определить величину их равнодействующей , если = 4, = 6, = 8.

1.13. Найти , если = 11; = 23; = 30.

1.14. В прямоугольной трапеции ABCD сторона CD образует с основанием AD угол 45°, при этом = , = . Найти , если = 1; = .

1.15. Дано: А(3; 5; -2), В(1; -2; 3). Найти .

1.16. Дано: А(1; -1; 1), В(2; 3; -4), С(-1; 5; 3), D(3; 1; -1). Найти координаты вектора .

1.17. Дано: = (3; 1; -1), В(-1; 2; 3). Найти координаты точки А.

1.18. Дана точка С(2; 0; -1). Вектор = 3 , причём . Найти координаты точки В.

1.19. Даны точки А(2; g; -1), В(1; 0; 2), С(a; -1; 1), D(4; -3; b). При каких значениях a, b, g имеет место соотношение = 2 .

1.20. Дана точка А(1; -3; 4). Найти координаты точки С – середины вектора (-6; 4; 8).

1.21. Расстояние между точками А(x; 6; -1) и В(7; y; 3) делится в точке М(1; 4; z) пополам. Найти неизвестные координаты этих точек.

1.22. Дано: = (5; -1; 1) и точка D(-7; 1; -1), причём = . Найти координаты точки С.

1.23. Даны: А(-2; 3; 1), С(3; -2; 2), причём точка С – середина отрезка АВ. Найти координаты точки В.

1.24. Проведён отрезок от точки А(1; -1; 3) до точки В(-1; 2; 4). До какой точки его нужно продолжить в том же направлении, чтобы его длина утроилась.

1.25. Точка А(-2; 1; 0) является вершиной общего угла двух подобных треугольников. Найти две другие вершины бо'льшего треугольника В₁ и С₁, если известны вершины меньшего: В(4; 3; -2), С(4; -1; 6), а отношение сходственных сторон равно .

1.26. Доказать, что точки А(-3; -7; -5), В(0; -1; -2) и С(2; 3; 0) лежат на одной прямой, причём точка В расположена между А и С.

1.27. Даны точки А(1; 2; 1), В(2; -1; 3) и С(3; a; b). При каких a и b точка С лежит на прямой АВ?

1.28. Даны векторы (2; 3), (1; -3), (0; 9). При каком значении a векторы и коллинеарны?

1.29. Даны векторы , . Найти .

1.30. Дан вектор (3; -4; 12). Найти орт вектора .

1.31. Точки А(3; 2; -3), В(1; -4; -1) и С(-1; 2; 5) – вершины треугольника АВС. Найти длины его медиан.

1.32. Даны вершины треугольника: А(1; -3; 4), В(3; 1; 2) и С(-2; 4; 3). Найти координаты вектора, совпадающего с медианой .

1.33. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный, если А(3; 2; -1),
В(1; -1; 3), С(-2; 1; -1).

1.34. Дан треугольник с вершинами А(1; 2; 3), В(3; 2; 1) и С(1; 4; 1). Выяснить, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным или разносторонним.

1.35. Доказать, что 4-угольник, заданный вершинами А(5; 2; -1), В(1; -3; 4), С(-2; 1; 3) и D(2; 6; -2) – параллелограмм.

1.36. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(2; 3; -1),
В(-1; 2; 2), С(0; 4; -3). Найти 4ую вершину D.

1.37. Проверить, что точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(-1; 1; -3) и D(3; -7; 9) являются вершинами трапеции.

1.38. Проверить коллинеарность векторов (-3; 6; 12) и (2; -4; -8). Установить зависимость между этими векторами.

1.39. Векторы (3; 3; -1) и (-2; 1; 3) являются сторонами параллелограмма. Найти длины его диагоналей.

1.40. На отрезке с концами А(1; 2; 5) и В(-2; 3; 1) найти точку, отсекающую его четвёртую часть, считая от точки А.

1.41. Из чисел ; ; ; выбрать те три, которые могут являться направляющими косинусами одного вектора.

1.42. Найти направляющие косинусы вектора , если А(3; -2; 1),
В(2; 5; 3).

1.43. Дано: . Найти длину этого вектора и его направляющие косинусы.

1.44. Найти угол, который вектор образует с осью Oy, если с осями Ox и Oz он образует соответственно углы 45° и 120°.

1.45. Найти координаты вектора , если = 4 и он образует с осями Oy и Oz углы соответственно 45° и 60°, а с осью Ox – тупой угол.

1.46. Определить координаты вектора , образующего с осями координат равные углы, если = .

1.47. Даны две силы: (2; 2; 2) и (-1; 3; 5). Найти величину и направление их равнодействующей .

1.48. Дан вектор . Найти вектор , параллельный вектору , противоположного с ним направления, если = 27.

1.49. Дан вектор . Найти вектор , если известно, что он перпендикулярен оси Oz, его абсцисса равна абсциссе вектора и = .

1.50. На плоскости даны два вектора: (2; -3) и (1; 2). Найти разложение вектора (9; 4) по базису и .

1.51. Даны три вектора: (3; -1), (1; -2) и (-1; 7). Найти разложение вектора по базису , .

1.52. Даны 4 точки: А(1; -2), В(2; 1), С(3; 2), D(-2; 3). Найти разложение вектора по базису , .

1.53. Даны 4 вектора: (2; 1; 0), (1; -1; 2), (2; 2; -1) и (3; 7; -7). Показать, что векторы , , могут служить базисом, и разложить вектор по базису , , .

1.54. Показать, что векторы , , компланарны, и разложить вектор по базису , :

а) (2; -1; 2), (1; 2; -3), (3; -4; 7);

б) (1; 1; 4), (1; -2; 0), (3; -3; 4);

в) (3; 5; 0), (1; 1; 2), (5; 3; 4).

1.55. Показать, что векторы , и некомпланарны, и разложить вектор по базису , , :

а) (2; 2; 3), (1; 2; 3), (1; 1; 1), (3; 0; -2);

б) (1; 1; -2), (1; -1; 0), (0; 2; 3), (1; 1; 1);

в) (1; 2; 0), (3; 1; 1), (4; 9; 0), (0; -6; 1).

1.56. Дан вектор . Найти координаты вектора , параллельного , противоположного с ним направления, если = 50.

1.57. В прямоугольной трапеции боковая сторона составляет угол 45° с большим основанием АD. Найти , если = ; = .

1.58. Даны 2 вектора: (1; 2; -1) и (-2; 1; 2), имеющие общее начало. Найти координаты единичного вектора, имеющего направление биссектрисы угла между векторами и .

1.59. Два вектора и приложены к одной точке. Найти координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , если = .

1.60. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(3; -4; 7), В(-5; 3; -2),
С(1; 2; -3). Найти вершину D, противоположную вершине В.

1.61. Проверить свойства средней линии треугольника с вершинами
А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3).

1.62. Проверить, что 4 точки: А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции и что выполняются свойства средней линии трапеции.

1.63. Точки А(2; 1; 1), В(-1; 2; 3), С(0; 3; 5) являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти длины его диагоналей.

1.64. Даны 2 смежные вершины параллелограмма: А(2; 0; -1) и В(1; 1; 3). Точка О(-1; 2; 5) является точкой пересечения его диагоналей. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.

1.65. Доказать, что 4-угольник ABCD – ромб, если А(-1; 0; 3), В(2; 2; 4),
С(3; 5; 2), D(0; 3; 1).

1.66. Даны 3 последовательные вершины правильного 6-угольника:
А(-1; 0; 3), В(2; 2; 4), С(3; 5; 2). Найти остальные его вершины.

1.67. Зная одну из вершин треугольника А(-2; 5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами (-1; 1; 2), (0; 2; 3), найти остальные вершины и вектор .

1.68. Векторы (2; -1; 2) и (-3; -2; 6) приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что = .