Векторное произведение двух векторов, заданных координатами

Если векторы и заданы координатами, например,
= (X_a; Y_a; Z_a), = (X_b; Y_b; Z_b), то их векторное произведение вычисляется по формуле:

.

Например, если = (3; 1; -1); = (2; 3; -4), то

.

Площадь параллелограмма, построенного на заданных векторах и , равна:

(ед²).

Задача 1. Вычислить , если ;
(-1; 1; -2); .

Решение

Имеем: (2; -1; 3); (-1; 1; -2); (0; -2; 1).

Обозначим: ; , тогда (0; 1; -1); (-1; -6; 2). Надо найти .

.

.

Задача 2. Вычислить площадь DАВС, если А(2; -1; 3), В(1; 1; 4),
С(-2; 3; 1).

Решение

Площадь треугольника АВС рана половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , а значит

.

Находим координаты векторов и : (-1; 2; 1),
(-4; 4; -2).

.

(ед²).

Задача 3. Сила (3; 3; -2) приложена к точке А(2; 1; -1). Определить момент этой силы относительно точки В(1; -2; 4).

Решение

Момент силы относительно точки В вычисляем по формуле:

.

имеет координаты (1; 3; -5); (3; 3; -2).

или (9; -13; -6).

Задача 4. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(5; 2; 7), В(6; 1; 9), С(5; 2; 8). Найти высоту этого параллелограмма, опущенную на сторону АВ.

Решение

С одной стороны, , с дугой стороны , так что , откуда следует:

.

Находим координаты векторов: (-1; 1; -2); (-1; 1; -1); .

.

Задача 5. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что = 5; = 2, вычислить .

Решение

.

(Поскольку векторы 3 и коллинеарны, их векторное произведение равно нулю: , аналогично ).

= 50.

Задача 6. В треугольнике АВС заданы = и = , где = 1; = ; . Найти высоту этого треугольника, опущенную на сторону АС.

Решение

Для площади DАВС имеем две формулы: и . Приравнивая правые части, получаем формулу:

(*)

.

.

найдём с помощью скалярного произведения.

.

.

Подставляя полученные результаты в формулу (*), имеем:

(ед).