Простейшие задачи

1. Если вектор задан координатами начальной и конечной точек:
А(x_A, y_A, z_A) и В(x_В, y_В, z_В), то вектор имеет координаты
(x_В–x_A; y_В–y_A; z_В–z_A).

2. Модуль вектора (X, Y, Z) находится по формуле: .

3. Расстояние между точками А(x_A, y_A, z_A) и В(x_В, y_В, z_В) вычисляется по формуле: .

4. Деление отрезка в данном отношении. Разделить направленный отрезок АВ в отношении l значит на прямой АВ найти такую точку С, что . Если А(x_A, y_A, z_A), В(x_В, y_В, z_В), то координаты нужной точки С определяются по формулам:

; ; .

5. Если точка С(x_С, y_С, z_С) – середина отрезка АВ, то её координаты определяются по формулам:

; ; .

6. Направляющие косинусы вектора. Пусть a, b, g – углы, которые вектор образует с осями координат (рис. 11). Косинусы этих углов, т.е. cos a, cos b, cos g, называются направляющими косинусами вектора . Пусть дан вектор = (X, Y, Z). Поскольку , , , то ; ; .

А так как , то направляющие косинусы вектора
(X, Y, Z) вычисляются по формулам:

;

;

.

Основное свойство направляющих косинусов вектора:

.

Задача 1. Даны 3 вершины параллелограмма ABCD: A(1; 2; -1),
B(2; -1; 3) и C(-1; 0; 2). Найти четвёртую вершину D (рис. 12).

Решение

Обозначим координаты точки D(x, y, z), тогда (-3; 1; -1);
(x–1; y–2; z+1). Поскольку = , то их координаты равны, т.е.:

откуда находим:

x = –2; y = 3; z = –2, т.е. D(-2; 3; -2).

Задача 2. Даны вершины DАВС: A(3; 3; -1), B(-1; 2; 4) и C(5; -6; 2). Найти длину его медианы АD (рис. 13).

Решение

Найдём координаты точки D как середины отрезка ВС:

; ; ,

так что D(2; -2; 3). Координаты вектора : (-1; -5; 4).

Длина медианы АD:

.

Задача 3. Дан вектор . Найти вектор , параллельный вектору , противоположного с ним направления, если = 27.

Решение

1 способ.

Вектор имеет координаты: (4; 7; -4). Поскольку || , то они связаны соотношением: ; = 27; , так что , а так как векторы и противоположно направлены, то k = –3, так что (-12; -21; 12).

2 способ.

Поскольку координаты коллинеарных векторов пропорциональны, а (4; 7; -4), то вектор имеет координаты (4k; 7k; -4k), где коэффициент пропорциональности k отрицателен, поскольку векторы и противоположно направлены. По условию = 27, т.е. k = –3 (-12; -21; 12).

Задача 4. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 60° и 45°, а с осью Ox – тупой угол. Вычислить его координаты при условии, что = 6.

Решение

Координаты вектора найдём по формулам

(*)

где = 6, а cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы .

cos b = cos 60°= ; cos g = cos 45° = . cos a найдём из основного свойства направляющих косинусов: :

, но так как угол a – тупой, то .

По формулам (*) находим:

;

;

,

так что (-3; 3; 3 ).

Задача 5. Векторы и образуют угол j = 60°, причём = 5; = 8. Найти и (рис. 14)

Решение

= ; = , следовательно надо найти длины отрезков АС и DВ.

Из DАВЕ имеем: Ð ВАЕ = 60°; АВ = 5 АЕ = АВ× cos60° = 5× =
= = 2, 5; ВЕ = АВ× sin60° = 5× = .

Тогда ЕD = 8 – 2, 5 = 5, 5 = и из DВЕD по теореме Пифагора имеем:

.

Рассмотрим DACF: AF = AD + DF = 8 + 2, 5 = 10, 5 = (так как DF = AE); CF = BE = . По теореме Пифагора имеем:

.

Ответ: = ; = 7.