Геометрический смысл смешанного произведения трёх векторов

Поскольку

, а , (рис. 21), то

,

, т.е. модуль смешанного произведения трёх векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

Свойства смешанного произведения

1. Круговая перестановка трёх сомножителей смешанного произведения не меняет его величины, т.е.

.

2. Смешанное произведение трёх ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, т.е. необходимым и достаточным условием компланарности ненулевых векторов , , является равенство нулю их смешанного произведения:

.

Если векторы , , заданы координатами: = (X₁; Y₁; Z₁), = (X₂; Y₂; Z₂), = (X₃; Y₃; Z₃), то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

.

Задача 1. Выяснить, является правой или левой тройка векторов , , , если , , (3; -2; 1).

Решение

Находим смешанное произведение векторов , , :

.

Поскольку , тройка векторов – левая.

Задача 2. Даны 4 точки: А(2; -1; -1), В(1; 4; 3), С(0; -2; 1) и
D(3; 2; -2). Найти объём тетраэдра ABCD.

Решение

Объём тетраэдра ABCD, как известно из элементарной геометрии, равен одной шестой объёма параллелепипеда, построенного на векторах , и , поэтому искомый объём найдём как одну шестую модуля смешанного произведения векторов (-1; 5; 4), (-2; -1; 2) и
(1; 3; -1):

;

.

Задача 3. Найти значение параметра " ", при котором точки
А(1; -1; 2), В(; 1; 1), С(2; -1; 0) и D(3; 0; 3) лежат в одной плоскости.

Решение

Если точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, то векторы , и компланарны, а значит их смешанное произведение равно нулю. Находим координаты векторов: ( -1; 2; -1), (1; 0; -2) и (2; 1; 1). Их смешанное произведение:

.

Приравнивая его к нулю, находим :

.

Задача 4. На векторах , и построен параллелепипед. найти длину его высоты, опущенной на грань, в которой лежат векторы и .

Решение

Объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, являющихся его рёбрами, т.е. .

С другой стороны, из элементарной геометрии известно, что , так что , откуда следует, что

.

Площадь основания, т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и , найдём с помощью векторного произведения этих векторов, а именно: , так что окончательно:

. (*)

Имеем: (0; 2; 1), (2; -3; -2), (-2; 4; 3).

; ;

; .

Подставляя в формулу (*), находим Н:

.

Задача 5. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах , и , где , , – взаимно перпендикулярные орты, образующие правую тройку.

Решение

Поскольку , найдём . При этом учитываем свойства смешанного векторного и скалярного произведений, а также то, что .

.

.

.

Поскольку векторы , , – единичные и взаимно перпендикулярны, имеем:

.

.

Вектор перпендикулярен к векторам и , а, значит, коллинеарен вектору , а поскольку векторы , и образуют по условию правую тройку, то угол между и равен 0°. Поэтому , следовательно , тогда (ед³).