Прямая на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана различными способами. Соответственно каждому из способов задания уравнение прямой имеет один из следующих видов:

1) – общее уравнение прямой, в котором коэффициенты А и В при текущих координатах являются координатами вектора нормали этой прямой, т.е. вектора, перпендикулярного к этой прямой (рис. 22);

2) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку М_о(x_o, y_o) с заданным вектором нормали ;

3) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку М_о(x_o, y_o) с заданным направляющим вектором , т.е. вектором, параллельным прямой;

4) – параметрические уравнения прямой; t - параметр, принимающий любые значения;

5) – уравнение прямой, заданной двумя точками: М₁(x₁; y₁), М₂(x₂; y₂);

6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k; угловой коэффициент k – это тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси Ox; b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy;

7) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку М_о(x_o, y_o) с заданным угловым коэффициентом; это уравнение называется также уравнением пучка прямых.

Для нахождения угла между двумя прямыми существуют две формулы.

Если прямые заданны общими уравнениями:

то угол между ними определяется как угол между их векторами нормалей и (рис. 23):

(5.1)

В этом случае условие параллельности двух прямых имеет вид:

. (5.2)

Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид:

. (5.3)

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:

,

то угол между ними находятся по формуле:

. (5.4)

В этом случае условие параллельности двух прямых имеет вид:

, (5.5)

а условие перпендикулярности:

. (5.6)

Расстояние d от точки М_о(x_o, y_o) до прямой вычисляется по формуле:

(5.7)

Для решения задач полезно также знать следующие правила.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой, заданной общим уравнением (), надо это уравнение разрешить относительно у (т.е. привести к виду ) и взять коэффициент, стоящий перед x.

Чтобы проверить, лежит ли заданная точка на заданной прямой, надо координаты этой точки подставить в уравнение прямой вместо текущих координат; если при этом получается тождество, точка лежит на прямой, если тождество не получается, точка на прямой не лежит.

Чтобы найти точку пересечения прямой с осью Ox, надо в уравнении прямой положить у = 0 и найти соответствующее значение х, чтобы найти точку пересечения прямой с осью Oy, надо в её уравнении положить х = 0 и найти соответствующее значение у.

Уравнение прямой, параллельной оси Oy, имеет вид x = a, а прямой, параллельной оси Ox: y = b (a и b – константы).

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Р(1; -2) и при этом

а) перпендикулярной вектору (3; 2);

б) параллельной вектору (-5; 4);

в) параллельной биссектрисе I-III координатных углов;

г) параллельной оси Ox;

д) параллельной оси Oy;

е) параллельной прямой ;

ж) перпендикулярной этой прямой;

з) проходящей через точку Q(3; 5);

и) образующей угол в 45° с прямой .

Решение

а) Вектор (3; 2), перпендикулярный прямой, можно принять за вектор нормали. Используя уравнение (2), получим:

, откуда следует:

– общее уравнение искомой прямой.

б) Вектор (-5; 4), параллельный прямой, является её направляющим вектором. Используем уравнение (3):

Þ .

в) Биссектриса I-III координатных углов образует с положительным направлением оси Ox угол 45°, следовательно её угловой коэффициент , а поскольку искомая прямая параллельна биссектрисе, её угловой коэффициент будет такой же. Используем уравнение (7):

Þ .

г) Прямая, параллельная оси Ox, имеет уравнение вида у = b, а для того, чтобы эта прямая проходила через точку Р(1; -2), необходимо, чтобы b = –2, т.е. уравнение прямой имеет вид: у = –2.

д) Прямая, параллельная оси Oy, имеет уравнение вида х = а – const, а чтобы она проходила через точку Р(1; 2), уравнение должно иметь вид: х = 1.

е) Заданная прямая имеет вектор нормали (2; 5). Поскольку искомая прямая её параллельна, вектор будет вектором нормали и для искомой прямой (рис. 24), поэтому, используя уравнение (2), получаем:

Þ .

Возможно и иное решение. Находим угловой коэффициент задан­ной прямой. Для этого разрешаем уравнение относительно у:

Þ , следовательно, .

Искомая прямая имеет тот же угловой коэффициент. Используем уравнение (7):

Þ Þ .

ж) Заданная прямая имеет вектор нормали (2; 5). Поскольку искомая прямая () ей перпендикулярна, то вектор будет параллелен искомой прямой, т.е. будет для неё направляющим вектором, поэтому используем уравнение (3):

Þ Þ .

Возможно иное решение. Угловой коэффициент заданной прямой был найден в предыдущей задаче: . Для перпендикулярной ей прямой угловой коэффициент находим по формуле (5.6): , так что для искомой прямой имеем угловой коэффициент и точку Р(1; -2). Используем уравнение (7):

Þ Þ .

з) Прямая должна проходить через две точки: Р(1; -2) и Q(3; 5). Используем уравнение (5):

Þ Þ Þ .

и) Находим угловой коэффициент заданной прямой:

Þ ; , так что .

Угловой коэффициент искомой прямой найдём, используя формулу (5.4):

.

Поскольку угол между прямыми , то . Принимая угловой коэффициент заданной прямой за , из формулы (5.4), получаем:

, откуда следует: ,

Þ – угловой коэффициент искомой прямой. Воспользовавшись уравнением (7), имеем:

Þ – искомая прямая.

Однако, применяя формулу (5.4), угловой коэффициент заданной прямой можно принять и за k₂ . Тогда из формулы (5.4) следует:

, откуда находим: Þ Þ

Þ – угловой коэффициент искомой прямой. Подставляя его и координаты точки Р в уравнение (7), получаем:

Þ Þ – искомая прямая.

То, что получены два уравнения, соответствует тому, что через точку Р можно провести две прямые, обра­зующие с заданной прямой угол 45° (рис. 25). Между собой эти прямые взаимно перпендикулярны, что под­тверждается и соотношением, связы­вающим их угловые коэффициенты: .