Свойства пар сил.

Первое свойство. Пару сил нельзя привести к сил. Пара сил (как и сила) является самостоятельным элементом статики.

Под действием пары сил свободное твердое тело может только поворачиваться. Сложим две неравные параллельные силы, направленные в разные стороны (рис. 23). Добавляем к исходной системе сил (F₁, F₂) уравновешенную систему сил (Q₁, Q₂) ~ 0. По аксиоме параллелограмма, силы, приложенные в точках A и B, эквивалентны двум непараллельным силам R₁ и R₂ (рис. 23, a). Согласно следствию второй аксиомы, переносим эти силы в точку пересечения их линий действия C (рис. 23, b). Используя вторую и третью аксиомы, раскладываем силы R₁ и R₂ на составляющие, а затем вычитаем уравновешенную систему сил (Q₁, Q₂). В результате - исходная система сил эквивалентна тем же силам, но приложенным в одной точке C, то есть (F₁, F₂) = (F₁, F₂)_C. По аксиоме параллелограмма эта система, а следовательно, и исходная система сил, эквивалентна одной силе или равнодействующей:

(1)

Равнодействующая и ее линия действия CD параллельны исходным силам, а точка D лежит вне отрезка AB. При сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, величина равнодействующей будет равна R* = F₁ + F₂, а точка D будет лежать внутри отрезка AB.

Второе свойство. Действие пары сил на твердое тело определяется моментом пары, который является свободным вектором, перпендикулярным плоскости пары, численно равным произведению силы на плечо пары.

(продолжение19)Выбираем в пространстве произвольный центр O (рис. 24) и вычисляем относительно этого центра сумму моментов сил, образующих пару. Эта сумму - моментом пары. Положение точек приложения сил пары относительно центра O определяется радиус-векторами r₁, r₂ и, учитывая, что F' = -F, получим:

Строим вектор BA, который определяет положение точки A относительно B, и на рис. 24 видим, что r₁ = r + BA или r₁ - r = BA. Учитывая это, из выражения (2) получаем:

(3)

Таким образом, действие пары сил на тело определяется ее моментом, который является мерой действия пары сил на твердое тело. Момент пары не зависит от выбора центра, то есть является свободным вектором. Величину момента пары найдем, определяя модуль векторного произведения в (3), учитывая (рис. 24), что BA sin(BA ^ F) = h:

Приняв за центр O последовательно точки приложения сил A и B, по формуле (2) имеем:

Следствия из второго свойства пары. 1. Действие пары на твердое тело не изменяется, если пару сил поворачивают в плоскости пары. 2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару сил переносят в другое место плоскости пары. 3. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если ее перенести в плоскость, параллельную плоскости пары. В плоской системе сил, когда все силы и пары сил лежат в одной плоскости, моменты пар направлены перпендикулярно этой плоскости и поэтому параллельны друг другу, в этом случае, момент пары рассматривают как алгебраическую величину, равную

(6)

20. Сложение пар сил в пространстве и плоскости. Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей. Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар. Пусть на тело действуют три пары сил с моментами . Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами , имеющими общее плечо d и такие же моменты Сложив отдельно силы получим: Вся система заменится одной парой с моментом Обобщая эту формулу, получим: Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары. Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II. Складываем силы в точках А и В: и убеждаемся, что пары заменяются одной парой . Найдем момент этой пары:

Если на тело действует л пар с моментами , то:

Геометрически вектор - это замыкающий вектор силового многоугольника. Если векторы лежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить аналитически: