Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил ( основная теорема статики). Теорема Пуансо.

Пусть дана произвольная система сил (F₁, F₂,..., F_n). Сумма этих сил F=å F_{k -} главный вектор системы сил. Сумма моментов сил относительно какого-либо полюса - главный момент рассматриваемой системы сил относительно этого полюса. Осн теор статики (теорема Пуансо): Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r₁, r₂, r₃, …, r_n–соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F₁, F₂, F₃,..., F_n, составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F₁, F_a, F₃,..., F_n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F_о=F₁+F₂+…+F_n=å F_k, которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). При последователь­ном переносе сил F₁, F₂,..., F_n в точку О получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁, F”₁), (F₂, F”₂),..., (F_n, F" _n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М₁=М(F₁, F”₁)=r₁ x F₁=М_о(F₁), М₂=М(F₂, F”₂)=r₂ x F₂=М_о(F₂), …, М_п=М(F_n, F" _n)=r_n x F_n=М_о(F_n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, М₀=М₁+М₂+...+М_n=М_о(F₁)+М_о(F₂)+…+ М_о(F_n)==å М_о(F_k)=å r_k x F_k. Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F_o=å F_k и парой сил с моментом M₀=å M₀(F_k)=å r_k x F_k.

24. Формулы для определения главного вектора и главного момента в декартовой системе координат.

Выбираем систему координатных осей Oxyz и вычисляем проекции главного вектора как алгебраические суммы проекций всех заданных сил на выбранные оси:

По найденным проекциям, откладывая соответствующие отрезки вдоль координатных осей (с учетом знака проекции), строим прямоугольный параллелепипед. Направленная диагональ, проведенная из начала координат в противоположную вершину параллелепипеда, определяет главный вектор R. Модуль и направляющие косинусы главного вектора определяются следующими вытекающими из построения формулами: Совершенно аналогично определяются проекции, модуль и направляющие косинусы главного момента:

Главный момент, по определению, есть векторная сумма моментов всех сил центра О. Следовательно, его проекции на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций на эти оси векторов-моментов сил относительно центра О, то есть величин Но эти величины, по определению момента силы относительно оси, являются моментами сил относительно соответствующих координатных осей:

Косинус угла между главным вектором и главным моментом определяется так: Отсюда:

25. Зависимость главного момента от выбора центра приведения. При переходе от одного центра приведения к другому изменяется момент произвольной силы F _i, выражения для моментов силы относительно каждого из центров:

1. Между собой точки приведения A и B связаны радиус-вектором d:

2. Радиус-вектор r _Bi в выражение для момента силы M_B (F_i):

3. Просуммируем моменты всех сил M _B (F _i):

4. Получили зависимость главного момента сил от выбора центра приведения:

главный минимальный момент выражается через скалярное произведение:

Главный минимальный момент может быть вычислен как проекция главного момента в любой точке приведения на центральную ось:

Инварианты статики.

Инварианты системы сил – величины, не зависящие от выбора центра приведения:

Первый (векторный) инвариант – главный вектор системы сил R *:

Главный момент не является инвариантом, поскольку он зависит от выбора центра приведения. Однако существует величина, связанная с главным вектором, не зависящая от выбора центра приведения:

1. Запишем зависимость для главного момента системы от выбора точки приведения:

2. Умножим левую и правую части этого выражения скалярно на главный вектор и раскроем скобки:

3. Второе слагаемое в правой части обращается в ноль, т.к. главный вектор R* перпендикулярен вектору векторного произведения в скобках. Отсюда получаем тождество: Таким образом, скалярное произведение главного вектора R* на вектор главного момента M_A есть второй (скалярный) инвариант: Отсюда, главный минимальный момент M* также является инвариантной величиной