Нормированные линейные пространства

Для введения геометрических свойств линейного пространства определяют действительное число, характеризующее «размер» элемента этого пространства, которое называется нормой вектора и обозначается . Требования к норме:

1. и ;

2. ; (1.2.12)

3. .

Тогда

(1.2.13)

есть метрика, которая делает пространство метрическим. Норма вектора равна расстоянию точки от начала координат.

Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим, называется банаховым пространством.

Для упорядоченных последовательностей действительных или комплексных чисел норму обычно определяют соотношением:

, (1.2.14)

а для действительных или комплексных функций времени, заданных на интервале :

. (1.2.15)

Последнее соотношение имеет простую физическую интерпретацию как энергии сигнала. Заметим, что множество функций, для которых норма (1.2.15) ограничена, называется пространством и обозначается . Началом координат здесь является функция, равная нулю почти всюду на всем интервале .

Учитывая общепринятые обозначения для временных интервалов

;

; ,

пространства обозначаются, например, , , и т.д.