Функционалы

Преобразование достаточно общих сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произвольного множества в множество чисел часто называют функцией. Но в наших приложениях исходными элементами часто являются функции в обычном смысле (т.е. отображения одного множества чисел в другое множество, например, функции времени, функции частоты и др.). Отображение множества обычных функций в числовые значения принято называть функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции».

Заметим, что под числами понимается не только множество действительных чисел, но и множество комплексных чисел, хотя это не имеет прямой связи с физическими измерениями. Заметим также, что каждому комплексному числу могут быть сопоставлены два вещественных числа.

Приведем для примера несколько типичных функционалов.

Обозначим через - сигнал, - плотность распределения вероятностей, - математическое ожидание

1) ;

2) ;

3) ;

4) ; (1.1.11)

5) ;

6) .

Как правило, все наиболее употребительные функционалы выражаются через интегралы, такая форма функционала наиболее удобна и применяется даже тогда, когда содержит особые (обобщенные) функции, такие, как -функция в 4) и 5), требующие специального определения, чтобы функционал имел смысл.